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1、第 1 页（共 20 页） 文科立体几何大题复习文科立体几何大题复习 一解答题（共一解答题（共 12 小题）小题） 1如图 1，在正方形 ABCD 中，点，E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点 H，点 G，R 分别 在线段 DH，HB 上，且将AED，CFD，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使点 A，B，C 重 合于点 P，如图 2 所示 （1）求证：GR平面 PEF； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径 2如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O 为 A
2、C 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点 （）证明：平面 EAC平面 PBD； （）若 PD平面 EAC，求三棱锥 PEAD 的体积 第 2 页（共 20 页） 3如图，在四棱锥中 PABCD，AB=BC=CD=DA，BAD=60，AQ=QD，PAD 是正三角形 （1）求证：ADPB； （2）已知点 M 是线段 PC 上，MC=PM，且 PA平面 MQB，求实数 的值 4如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点 （）求证：ACSD； （）若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SE：
3、EC 的值 ； 若不存在，试说明理由 5如图所示，ABC 所在的平面与菱形 BCDE 所在的平面垂直，且 ABBC，AB=BC=2，BCD=60， 第 3 页（共 20 页） 点 M 为 BE 的中点，点 N 在线段 AC 上 （）若=，且 DNAC，求 的值； （）在（）的条件下，求三棱锥 BDMN 的体积 6如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AC，且侧面 BB1C1C 是菱形，B1BC=60 （）求证：AB1BC； （）若 ABAC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为 2，求 AB 的长 7如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E 是 CD 的中点，将ADE 沿 A
4、E 折起，得到如图 2 所示 第 4 页（共 20 页） 的四棱锥 D1ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE （1）证明：BE平面 D1AE； （2）设 F 为 CD1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE，若存在，求出的值 ； 若不存在，请说明理由 8 如图， 已知多面体 ABCDEF 中， ABD、 ADE 均为正三角形， 平面 ADE平面 ABCD， ABCDEF， AD ： EF：CD=2：3：4 （）求证：BD平面 BFC； （）若 AD=2，求该多面体的体积 9如图，在四棱锥中 PABCD，底面 ABCD 为边长为的正方形，PABD 第 5 页（共
5、 20 页） （）求证：PB=PD； （）若 E，F 分别为 PC，AB 的中点，EF平面 PCD，求三棱锥的 DACE 体积 10如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD （）证明：平面 AEC平面 BED； （）若ABC=120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积 11如图，四边形 ABCD 是正方形，DE平面 ABCD，AFDE，AF=ED=1 第 6 页（共 20 页） （）求二面角 EACD 的正切值； （）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM平面 BEF，并证明你的结论 12如图，在四棱
6、锥 PABCD 中，AB平面 BCP，CDAB，AB=BC=CP=BP=2，CD=1 （1）求点 B 到平面 DCP 的距离； （2）点 M 为线段 AB 上一点（含端点） ，设直线 MP 与平面 DCP 所成角为 ，求 sin 的取值范围 第 7 页（共 20 页） 文科立体几何大题复习文科立体几何大题复习 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一解答题（共一解答题（共 12 小题）小题） 1如图 1，在正方形 ABCD 中，点，E，F 分别是 AB，BC 的中点，BD 与 EF 交于点 H，点 G，R 分别 在线段 DH，HB 上，且将AED，CFD，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起
7、，使点 A，B，C 重 合于点 P，如图 2 所示 （1）求证：GR平面 PEF； （2）若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径 【解答】证明：（）在正方形 ABCD 中，A、B、C 均为直角， 在三棱锥 PDEF 中，PE，PF，PD 三条线段两两垂直， PD平面 PEF， =，即，在PDH 中，RGPD， GR平面 PEF 解：（）正方形 ABCD 边长为 4， 由题意 PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2， SPEF=2，SPFD=SDPE=4， =6， 设三棱锥 PDEF 的内切球半径为 r， 则三棱锥的体积： =， 解得 r=， 第 8 页（共
8、20 页） 三棱锥 PDEF 的内切球的半径为 2如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，BAD=60，AB=2，PD=，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点 （）证明：平面 EAC平面 PBD； （）若 PD平面 EAC，求三棱锥 PEAD 的体积 【解答】 （）证明：PD平面 ABCD，AC平面 ABCD， ACPD四边形 ABCD 是菱形，ACBD， 又PDBD=D，AC平面 PBD 而 AC平面 EAC，平面 EAC平面 PBD （）解：PD平面 EAC，平面 EAC平面 PBD=OE， PDOE， O 是 BD 中点，E 是 PB
9、 中点 取 AD 中点 H，连结 BH，四边形 ABCD 是菱形，BAD=60， BHAD，又 BHPD，ADPD=D，BH平面 PAD， = 第 9 页（共 20 页） 3如图，在四棱锥中 PABCD，AB=BC=CD=DA，BAD=60，AQ=QD，PAD 是正三角形 （1）求证：ADPB； （2）已知点 M 是线段 PC 上，MC=PM，且 PA平面 MQB，求实数 的值 【解答】证明：（1）如图，连结 BD，由题意知四边形 ABCD 为菱形，BAD=60， ABD 为正三角形， 又AQ=QD，Q 为 AD 的中点，ADBQ， PAD 是正三角形，Q 为 AD 中点， ADPQ，又 BQ
10、PQ=Q，AD平面 PQB， 又PB平面 PQB，ADPB 解：（2）连结 AC，交 BQ 于 N，连结 MN， AQBC， PN平面 MQB，PA平面 PAC， 平面 MQB平面 PAC=MN， 根据线面平行的性质定理得 MNPA， ， 综上，得，MC=2PM， 第 10 页（共 20 页） MC=PM，实数 的值为 2 4如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点 （）求证：ACSD； （）若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SE： EC 的值 ； 若不存在，试说明理由 【解答】解：
11、（）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意 SOAC， 在正方形 ABCD 中，ACBD， 所以 AC面 SBD， 所以 ACSD （）若 SD平面 PAC， 则 SDOP， 设正方形 ABCD 的边长为 a， 则 SD=，OD=， 则 OD2=PDSD， 可得 PD=， 故可在 SP 上取一点 N，使 PN=PD， 过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E，连 BN 在BDN 中知 BNPO， 又由于 NEPC，故平面 BEN面 PAC， 第 11 页（共 20 页） 得 BE面 PAC， 由于 SN：NP=2：1， 故 SE：EC=2：1 5如图所示，ABC 所在的平面与菱
12、形 BCDE 所在的平面垂直，且 ABBC，AB=BC=2，BCD=60， 点 M 为 BE 的中点，点 N 在线段 AC 上 （）若=，且 DNAC，求 的值； （）在（）的条件下，求三棱锥 BDMN 的体积 【解答】解：（）取 BC 的中点 O，连接 ON，OD， 四边形 BCDE 为菱形，BCD=60， DOBC， ABC 所在的平面与菱形 BCDE 所在平面垂直，DO平面 ABC， AC平面 ABC，DOAC， 又 DNAC，且 DNDO=D， AC平面 DON， ON平面 DON，ONAC， 由 O 为 BC 的中点，AB=BC，可得， ，即 =3； （）由平面 ABC平面 BCDE
13、，ABBC，可得 AB平面 BCDE， 由，可得点 N 到平面 BCDE 的距离为， 第 12 页（共 20 页） 由菱形 BCDE 中，BCD=60，点 M 为 BE 的中点，可得 DMBE， 且， BDM 的面积， 三棱锥 NBDM 的体积 又 VNBDM=VBDMN， 三棱锥 BDMN 的体积为 6如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AC，且侧面 BB1C1C 是菱形，B1BC=60 （）求证：AB1BC； （）若 ABAC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为 2，求 AB 的长 【解答】解：（I）取 BC 中点 M，连结 AM，B1M， AB=AC，M 是 BC 的中点， AM
14、BC， 侧面 BB1C1C 是菱形，B1BC=60， B1MBC， 又 AM平面 AB1M，B1M平面 AB1M，AMB1M=M， BC平面 AB1M，AB1平面 AB1M， BCAB1 第 13 页（共 20 页） （II）设 AB=x，则 AC=x，BC=x， M 是 BC 的中点，AM=，BB1=，B1M=， 又AB1=BB1，AB1=， AB12=B1M2+AM2，B1MAM 由（I）知 B1MBC，AM平面 ABC，BC平面 ABC，AMBC=M， B1M平面 ABC， V=， x=2，即 AB=2 7如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=2，E 是 CD 的中点，将ADE
15、 沿 AE 折起，得到如图 2 所示 的四棱锥 D1ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE （1）证明：BE平面 D1AE； （2）设 F 为 CD1的中点，在线段 AB 上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE，若存在，求出的值 ； 若不存在，请说明理由 【解答】 （1）证明：连接 BE， ABCD 为矩形且 AD=DE=EC=2， AE=BE=2，AB=4， 第 14 页（共 20 页） AE2+BE2=AB2， BEAE，又 D1AE平面 ABCE，平面 D1AE平面 ABCE=AE， BE平面 D1AE （2）= 取 D1E 中点 N，连接 AN，FN， FNEC，ECAB，
16、FNAB，且 FN=AB， M，F，N，A 共面， 若 MF平面 AD1E，则 MFAN AMFN 为平行四边形， AM=FN= = 8 如图， 已知多面体 ABCDEF 中， ABD、 ADE 均为正三角形， 平面 ADE平面 ABCD， ABCDEF， AD ： EF：CD=2：3：4 （）求证：BD平面 BFC； （）若 AD=2，求该多面体的体积 【解答】解：（）因为 ABCD，所以ADC=120，ABD 为正三角形，所以BDC=60 设 AD=a，因为 AD：CD=2：4=1：2，所以 CD=2a， 在BDC 中，由余弦定理，得， 所以 BD2+BC2=CD2，所以 BDBC 第 15 页（共 20 页） 取 AD 的中点 O，连接 EO，因为ADE 为正三角形，所以 EOAD， 因为平面 ADE平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD 取 BC 的中点 G，连接 FG，OG，则，且 EFOG，所以四边形 OEFG 为平行四边形， 所以 FGEO，所以 FG平面 ABCD，所以 FGBD 因为 FGBC=G
