《冲刺2021届高考数学存在问题之解决专题04 立体几何（文）（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《冲刺2021届高考数学存在问题之解决专题04 立体几何（文）（原卷版）（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备战2021高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典专题四 立体几何（文）【考生存在问题报告】（一）识图、作图、用图能力弱作图、识图、用图能力是考生学好立体几何所应具备的重要能力之一，学生的识图、作图、用图能力弱主要集中在“三视图的识别、还原”，“球问题的直观呈现和转化”，“作图问题”，“展折问题的图形分析”等【例1】（2020黑龙江哈尔滨三中高三月考）某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【评析】本题易错点是忽视三视图中的实线与虚线的区别，导致所判断的空间几何体出错，从而所求的几何体的体积不正确破解此类题的关键：一是会还原，首先看俯视图，
2、俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽，根据俯视图画出几何体地面的直观图；再观察正视图和侧视图，正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽，找到几何体前、后、左、右的高度，要特别注意视图中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见的轮廓线在三视图中为虚线二是用公式，即利用面积公式，求出空间几何体的面积【例2】（2020湖南长沙一中高三月考）已知球与棱长为的正方体的所有棱相切,点是球上一点，点是的外接圆上的一点，则线段的取值范围是_.【评析】本题主要考查了正方体外接球与相切球的性质运用,需要根据题意判定取最值时线段长度与球半径的关系.属于中等题型.【例3】【2018
3、年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D. 【评析】1.求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.（2）向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.2.掌握求异面直线所成角的方法，观察和做出平行线是解答此类题的关键如何作平行线，这是作图的基本功，教师要讲明原理（常利用中位线或平行四边形的性质作平行线），同时，要引导学生观察几何体（尤其是长方体中
4、的一些常见的平行关系（如本题）的和垂直关系），这样，学生的作图就会更有方向感！【例4】（2020广东高三期末）如图，在矩形中，为边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且使平面平面.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【评析】本题往往会因对折叠问题前后的“变量与不变量”分析不够，而忽视重要的垂直关系，（1）根据已知条件，得到，即，由平面平面，得到平面，从而得到，结合得到平面；（2）过点在平面中向引垂线，垂足，连接和，得到和的长，由平面平面，得到，从而得到，的长，设为的中点，在等腰三角形中，求出的长，利用，求出点到平面的距离.无论是图形的翻折或是展开，都是平面图形与空间图形的相互转化，
5、从抽象到直观，直观到抽象的过程，其中翻折 平面图形立体化，展开 立体图形平面化解决这类问题关键在于要分清展折前后的“变量与不变量”，建议在展折前的图形中进行标注重要的点（尤其前后坐标的不同），或是重要的量，这样可避免遗忘或忽略（二）推理的逻辑欠清晰2018年全国卷一、卷二均是“证算并重题”，卷三为证明题，期中卷一、卷三均是“折叠问题”.其解答题一般稳定居于解答题的第二或第三的位置，常设置两问之中，一问主要涉及定性证明（如垂直关系、平行关系），二问立足定量求解通过定性分析平行或垂直关系，考查考生的逻辑推理能力.在定性分析时由于定理条件掌握不全，推理的逻辑欠清晰，常造成“会而不全”，导致失分，如学
6、生们在使用直线与平面平行的判定定理时，常常遗忘“已知直线一定要在该平面外”这个关键的条件；在使用直线与平面垂直的判定定理时，常常遗忘“线不在多，重在相交”这个关键的条件符号书写也不规范，如直线与平面是包含与不包含的关系，却常误写成是属于与不属于的关系等.【例5】（2020江苏高三开学考试）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD/平面BCC1B1，ADDB.求证： （1）BC/平面ADD1A1；（2）平面BCC1B1平面BDD1B1.【评析】本题主要考查线面平行的性质及面面垂直的证明，熟悉相关定理并灵活运用是解题的关键.在第（1）问中应该先由直线与平面平行的性质得到AD/平面BCC1B
7、1，由AD/BC，同时AD平面ADD1A1，可得BC/平面ADD1A1；第（2）中由（1）知AD/BC，因为ADDB，所以BCDB，同时由直四棱柱性质可得DD1BC，BC平面BDD1B1，可得证明.（三）概念意识不强数学概念不仅仅是明晰研究对象，也是数学思考问题、解决问题的出发点.考生由于概念意识不强，文字语言与图形语言无法转换，即看到概念的文本描述，头脑中无法形成与之相应的空间几何体“异面直线所成的角” “直线与平面所成的角”等.易忽视其定义的本质（即“找、证、算”），而陷入盲目的计算，看似“算无根据”，导致会而不对【例6】（2020湖北高三月考）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点.（1）证
8、明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【评析】本题考查线面垂直的证明,考查几何法求线面角。由条件先证得,再由平面图形性质可得,进而证明平面；（2）取的中点,连结交于,可证得平面,连结,则为直线与平面所成的角,进而求解即可（四）运算求解出现低级错误学生在解决立体几何中涉及到求几何体的体积、表面积或求角与距离等问题时，运算性的出错也很常见，主要表现在：错用几何体的体积、表面积公式；错选向量或向量公式求解相关问题；运算过程粗心出错等. 运算求解能力弱是目前学生学习数学时存在的典型性问题，复习中应有意识地培养提高.【例7】【山东省济南2018届二模】已知点均在表面积为的球面上,其中平面,则三棱锥
9、的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【评析】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要求有一定的空间想象能力、较强的运算求解能力，这样才能找准关系，准确计算，得到结果.一般内切球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于内切球的性质，球心到各面距离相等计算即可，当球心位置不好确定时，可以用等体积法求球半径.【命题专家现场支招】（一）重视识图、作图、用图能力的培养识图、作图、用图能力的培养非一朝一夕就可实现！教师要“舍得”花较多的时间“手把手”教学生“怎么画”；要“讲明作图的原理”避免学生虽“看得懂”教师的“画”，但“书到用时方觉少，事非经过不知难！”；要“善于借助模型和道
10、具”引导学生观察；要“培养模型意识、动手能力”引导学生巧借“教室”或“道具比划”简化、解决问题【例8】（2020辽河油田第二高级中学高三月考）如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）ABCD【评析】本题主要考查由三视图还原几何体，还原时可以将该几何体放在棱长为的正方体中，通过三视图还原出几何体，计算各侧面面积比较即可.【例9】（2020宁夏银川二中高三月考）如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是_（写出所有正确命题的编号）当0CQ时，S为
11、四边形当CQ时，S为等腰梯形当CQ时，S与C1D1的交点R满足当时，S为四边形当CQ1时，S的面积为【评析】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误（二）理清判定定理和性质定理的条件与结论，关注证明的严密性线与线、线与面、面与面之间的关系错综复杂，平行关系、垂直关系或平行关系与垂直关系之间都可进行转化，其证明也是考试的高频点证明时，不仅要思考它们之间的转化，而且要理清判定定理和性质定理的条件与结论（特别是一些较常遗漏疏忽的条件，如判定时易忽视；判定“线面垂直”易忽视“两相交直线”；判定“面面平行”，易直接“线线
12、平行”），避免“会而不全”导致失分【例10】如图，已知所在的平面，分别为的中点（）求证：；（）若，求证：（三）总结位置关系的主要证明方法与适用范围培养学生模型化的意识是总结位置关系的一个行之有效的方法其中正方体或长方体就是一个很好的载体（教室是一个非常有用的长方体模型），关键在于引导学生“观察、思考”【例题11】（2020陕西西安中学高三期末）已知矩形，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有_.三棱锥的体积的最大值为；三棱锥的外接球体积不变；三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是60；异面直线与所成角的最大值为90.（四）关注多面体、旋转体的结构与性质复习时，不仅要
13、关注常见多面体（特别是三棱锥、四棱锥、三棱柱）、旋转体的结构与性质及其体积、表面积公式 ，同时要关注其不同位置形式的解读（如横放的三棱柱）球在全国卷也是屡见不鲜，其中球的定义、截面圆性质、球与其他几何体的接切应重点关注【例12】（2020广东实验中学高三月考）己知直线l与正方体的所有面所成的角都相等，且平面，则与平面所成角的正切值是_.【例13】（2020湖北荆州中学高三期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且直线，直线，下列命题为真命题的是( )A“”是“”的充分条件B“”是“”的既不充分又不必要条件C“”是“”的充要条件D“”是“”的必要条件（五）强化空间角与距离的合理求解空间角的求
14、解和距离的求解是定量分析的重要部分对于文科而言，空间角的求解主要在于定义的应用，如通过“平行”关系研究“异面直线所成的角”，通过构造垂直关系求解“线面角、二面角的平面角”；距离则往往与体积转化有关对于理科而言，关键在于区别“向量的夹角”，特别是“线面所成的角”与“直线与平面法向量的夹角（指锐角）”之间的互余关系是考生的易错点之一对于一些较为复杂的条件，合理选择“基本量”可大大简化计算【例14】【2018年全国卷II文】如图，在三棱锥中，为的中点 （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离【评析】立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题
15、的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.（六） 强化答题的规范化在平时的立体几何的考试训练中，加强审题能力（读题与观图），强化立体几何解答题的规范性训练，同时加强逻辑表达能力的训练，并提升运算求解能力强化答题规范化训练是提高成绩的保证，立体几何解答题的证明过程要做到“步步有理有据”，要分清主次，“精”写过程（当然“精”写过程是建立在写全步骤的基础之上的，任何的“跳步”书写都容易产生歧义，都是要失分的）真正做到对立体几何解答题的审题到位，思维全面，下笔准确，答题快速【例15】（2020安徽六安一中高三月考）在多面体中，为菱形，为正三角形.（1）求证：；（2）若平面平面，求点到平面的距离.【新题好题针对训练】一、单选题1（2020浙江嘉兴一中高三期末）如图是某三棱锥的正视图和俯视图（单位：），则该三棱锥侧视图面积是（ ）（单位：）A2BCD
