《冲刺2021届高考数学存在问题之解决专题01 数列（原卷版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《冲刺2021届高考数学存在问题之解决专题01 数列（原卷版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备战2021高考数学最后冲刺存在问题之解决宝典 专题一 数列【考生存在问题报告】（一）概念模糊不清概念模糊不清主要表现在等差、等比数列的概念及等差中项或等比中项的定义认识不到位等.【例1】（2020宁夏高三期末）已知数列是无穷数列,则“”是“数列为等差数列”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【评析】学生出错的原因在于学生对等差数列概念模糊思考不严密，忽略了等差数列是由后一项与前一项的差为定值来定义的，这个差值必须是同一个常数【例2】设数列中，判断是不是等比数列.【评析】学生常会忽视与关系，由直接判断是等比数列，体现学生对等比数列的定义理解不透彻，从来看，反
2、映的是数列从第3项开始后一项与前一项的比是常数，而等比数列的定义是从第2项开始，后一项与前一项的比是常数，故需讨论与关系（二）运算能力不佳在数列专题中，常常出现求数列某一项、基本量、通项公式及前项和等计算问题在计算过程中，整体代换意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：用数列的有关公式和性质求解一些基本量的问题时用错公式，而在用与的关系时易漏掉时的情况；对等比数列前项和公式的结构特征认识不透，不能从整体的意识上（计算中常把作为整体代换）去分析和思考问题等【例3】（2020辽宁辽师大附中高三月考）已知数列为等差数列，为其前项和，则（ ）ABCD【评析】解等差数
3、列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.这方面有了解到有学生因记不住相关公式或用错公式而导致丢分【例4】（2020安徽高三月考）已知正项等比数列的前项和为，若，则ABCD【评析】此题在等比数列前项和公式使用时经常出现不合理情况，易忽略，在等比数列求和时要分公比是否为1两种情况进行讨论；另一种情况是当时要把作为整体去运算.（三）问题转化错误化归与转化思想是数学解题的主要思想之一在数列解题中学生存在的主要问题：一是审题不到位导致解题是设元不合理或已知条件没进行等价转化；二是将非等差数列、
4、非等比数列转化为等差、等比数列时出错【例5】（2020重庆南开中学高三月考）已知数列前项和为，且.求证:为等比数列;【评析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，先由，得，两式作差、整理，即可证明结论成立。但是这类问题学生统一忽略n的取值，导致与等比数列的定义不相符，再有一个难点就是构造的过程对于有些学生来说不知如何下手。（四）归纳意识不强数列可以说是学习高等数学的基础，高考对数列的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏；数列求和也是数列考查的重要内容之一；有时数列考查也注重在知识交会处设计试题，既重视对数列的基础知识的考查，又突出对数学思想方法和数学能力的考查，数列综合题型在考查
5、中也会出现，这类题难度大，综合性、技巧性强，通过递推关系计算数列前几项归纳从而找到数列解题中的规律是常遇到的，而这方面经常是学生的薄弱点【例6】（2020全国高三专题练习）已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为_【评析】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如），先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值.从而找到解题的规律和方向（五）项数确定错误数列是定义域为正整数集及其子集的函数，
6、解题中重视项数的取值情况是很重要的在这方面学生经常出错除了在等差数列、等比数列的定义中易漏掉时的情况外，还突出体现在以下两个方面：一是数列求和中用错位相减法时，中间环节两式相减后构成等比数列是项或项时常错；二是数列应用题经常以关注生活热点、贴近生活，抓住学生身边的重要素材，比如个人储蓄与养老保险问题、分期付款问题、住房改革与医疗改革、国土资源与人口发展等综合应用问题转化为特殊数列时项数经常出错【例7】（2020广东金山中学高三）已知数列的前项和（其中），且的最大值为8.（1）确定常数，并求；（2）设数列的前项和为，求证：.【评析】本题考查的错位相减法求和的思想来源于等比数列的求和思想，主要解决
7、一个等差数列与一个等比数列对应项积组成的数列的求和问题，具体思路为：先写出和式，在和式两边同乘以等比数列的公比，用和式减去乘以的式子，得到一个新的式子，从而转化为一个等比数列的求和问题与另外一项或两项的的和的问题，这样就可以求和了，但利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；相减时注意最后一项 的符号；求和时注意项数别出错；最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.【命题专家现场支招】（一）重视基本量解题意识在高考中数列小题主要考查等差数列、等比数列的性质，大题主要考查等差数列、等比数列的通项与前项和公式及简单的递推关系（
8、主要是与的关系）等问题，一般是中、低档难题，但解题方法灵活多样，技巧性较强些. 而等差、等比数列共涉及五个量，（知其中三个就能求另外两个）和两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,所以加强用基本量法切入解题是一种行之有效且常用的方法.【例8】（2020广东高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（ ）ABCD（二）重视公式的应用全国卷中与的问题经常出现，应引起大家的重视.这种题目的一般方法是用“退位相减法”消去（或者），得到数列的递推公式（或者是数列的递推公式），进而求出（或者）与n的关系（易漏掉时的情况）.【例9】（20
9、20河北高三期末）已知数列的前项和.（1）求的通项公式；（2）记，求的前项和.【例10】（2020福建高三期末）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）ABCD（三）合理选择运算途径全国卷数列考查从命题的思路看主要有：两类基本数列基本量的计算、两类基本数列的定义及通项的求法及数列求和方法.其中等比数列前项和公式在解题计算中经常要把作为整体代换，只有合理选择了运算方法才能大大简化计算过程.【例11】（2020江苏高三月考）设等比数列的前n项和为若成等差数列，且，则的值为_【评析】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁
10、,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.（四）强化合情推理的训练 数列是指按一定次序排列的一列数，这决定了数列解题中离不开规律性和技巧性的探究，故合情推理的灵活应用这方面就显得尤为重要.【例12】（2020天津高三月考）数列an满足a1=3,an,其前n项积为Tn,则T2019等于( )AB1CD3关键所在就是发现数列的周期性由已知式得出，然后由代入依次求
11、出数列的前几项，然后通过归纳的方法，通过求出数列的前几项，归纳出周期性是什么，这也是数列问题的常用方法【例13】（2020上海高三月考）已知数列an满足a12，an1 (nN*)，则该数列的前2 022项的乘积a1a2a3a2 022_.【评析】本题对于学生的要求在于对题型的熟练程度，看到什么题型应该往哪个方向去想。数列的递推公式，由递推公式求出数列的前几项，得出数列的周期性是解这类题的关键，也是难点，学生容易出错的是计算不过关。（五）强化求和模型的训练求数列前n项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n项相加的过程中相互抵消）；（2）错位相减法（适合于等差
12、数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）数列求和问题是高考的热点问题，各种题型均有出现，除了常考错位相减法以外，还常考裂项相消法求数列的和 （1）裂项求和问题注意裂项求和常适用于通项公式为分式的数列求和，当分子可以看作是分母两个因式的差的时候，可以用裂项相消法特别是前面剩两项后面剩两项时，要分清剩哪两项.【例14】（2020天津南开中学高三月考）已知数列的前项和，数列满足.（）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（
13、）设，数列的前项和为，求满足的的最大值.（2） 错位相减法问题注意各项对齐，关注错位相减后的运算正确性.【例15】（2020河北高三期末）已知数列的前项和满足，且，数列中，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求的前项的和.（3）集项求和问题在应用时应注意先求局部和，再求总和往往适用于项的符号正、负不定的数列求和.【例16】（2020江苏高三月考）已知.（1）若，求的值；（2）求的值.（六）关注数学文化中的数列问题及数列的简单应用新定义题型是高考试题永不过时的创新策略，也是传承高考试题革新的重要途径和手段，在近几年高考中以数列知识为背景渗透数学优秀传统文化的题型经常出现 这类题以新课标教材内容
14、为背景，给出某种新概念、新公式或新符号等，要求学生在理解相关新概念、新公式或新符号之后，运用所学知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决【例17】（2020湖南高三期末）中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第三天走的路程里数为（ ）A192B48C24D88【例18】（2020辽宁辽师大附中高三月考）中国古代数学名著九章算术中有这样一个问題:今有牛
15、、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ABCD【例19】（2020青海高三期末）设数列的前项和为，且满足.（1）若数列满足，且，求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【新题好题针对训练】一、选择题1（2020安徽高三月考）已知等差数列的前项和为，则的值等于（ ）A21B1C-42D02（2020全国高三专题练习）南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研
