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1、多 元 函 数 微 积 分,空间解析几何简介,二元函数的概念,偏导数和全微分,第六章,多元复合函数与隐函数的微分法,多元函数的极值,二重积分,二元函数的概念,空间解析几何,平面直角坐标系,o,平面内任取一点O原点,过O点另作一垂线y轴（纵轴）,过O点做一直线x轴（横轴）,两坐标轴分平面为、 象限,实数对（x，y）对应平面内的点P，记作P（x，y），分别 称数x为点P的横坐标，数y为点P的纵坐标。,平面内的点与实数对一一对应,空间解析几何简介,空间直角坐标系（三维直角坐标系）,右 手 原 则,平面,平面,平面,三个坐标平面分空间为八个卦限 （演示）,三个坐标平面,八个卦限,点的坐标（演示）,两点
2、间的距离,点 M到原点的距离,例1 在,轴上求一点,，使它到点,和,的距离相等。,轴上，故设点,的坐标为,由两点间距离公式得,由题意知,解： 因所求点在,空间曲面,三元方程,如果曲面 S 上任意一点的坐标 都满足方程 F( x ,y ,z)=0，同时 不满足方程 F( x ,y ,z)=0的点都 不在曲面 S 上，则称三元方程 F (x ,y ,z)=0 为曲面 S 的方程。,平面一种特殊曲面,平面方程的一般形式：,（三元一次方程）,平面方程的标准形式：设由A、B、C 构成的向量（A,B,C) 为法向量，任何一个平面由定点M,和一个法向量,（A,B,C）确定，其平面方程为：,设两个平面,垂直的
3、充要条件：,平行的充要条件：,点P,到平面,的距离是,若直线（点向式）,与平面,平行，则,若垂直，则,平面,平面一种特殊曲面,平面方程的一般形式：,几种特殊平面,（三元一次方程）,平行于 z 轴的平面：,过 z 轴的平面：,过原点的平面：,平行于 y 轴的平面：,过 y 轴的平面：,平行于 x 轴的平面：,过 x 轴的平面：,平面：,平面：,平面：,二次曲面,椭球面（几何演示）,抛物面（几何演示）,球面（几何演示）,柱面,平面内一直线L沿着一定曲线C移动而形成的曲面叫做柱面， 其中，直线L叫做母线，曲线C叫做准线。,如：平行于 Z 轴的直线沿着XOY平面内的椭圆 移动，而形成的曲面叫做椭圆柱面
4、。,其它柱面（几何演示）,柱面方程的特点：如果方程中不含 变量 Z（ X 或 Y )，则母线平行于 Z ( X 或 Y )轴，柱面垂直于 XOY ( YOZ 或 XOZ )面 。,其方程为,二元函数的概念,、平面点集,平面上满足某个条件的所有点构成的集合称为平面点集。,例1 平面上满足,的所有点,构成平面点集，记作,例2 平面上满足,的所有点构成的平面点集 ，记作,二元函数的概念,称实数集 为函数 f 的值域。,约定：函数 z=f (x , y) 的定义域约定为使得式子有意义的所有 的实数对（x , y）。,例如：函数 的定义域为,它表示如右图所示的无界区域。,二元函数的图像,空间点集 称为函
5、数 的图像。,它表示空间曲面。,一元函数与二元函数的比较,定义域,数轴上的区间,平面中的区域,图像,平面中的曲线,空间中的曲面,极限,单极限,二重极限,微分学,导数与微分,偏导数与全微分,积分学,定积分,二重积分,例3 二元函数,其定义域为,值域,例4 已知二元函数,例5 作二元函数,的图形。,解： 因为,所以,整理得,此方程表示以点（0，1，0）为圆心，以1为半径的球面。,的图形是球面的上半部。,因此，函数, 二元函数定义域的求法,例7 求函数,的定义域。,解：要使函数有意义，必须满足,即函数的定义域是,平面上上直线,下方的无界区域。,例8 求函数,解：要使函数有意义，必须满足,的定义域 。
6、,函数的定义域是抛物线,的内部（含边界,）与圆,的内部的公共部分。,例9 求函数,的定义域。,有定义，必须,解： 要使,邻域：平面点集 称为点P0 (x0 , y0) 的邻域，记做 U(P0 ，),开集：如果点集E中的点都是内点，则称点集E为开集。,连通集：如果点集E中的任意两点， 都可以用完全属于E中的折 线段将它们连接起来，则 称E为连通集。,区域：连通的开集称为开区域，简称区域。,闭区域：区域连同它的边界，称为闭区域。,几个概念：开集、连通集、区域、闭区域。,例如：点集 即为一开集。,例如：点集 即为区域。,例如：点集 即为闭区域。,连通,不连通,二元函数的极限,定义：设二元函数 z=f
7、 (x , y)在点 P0(x0 ,y0)的邻域内有定义 （点P0可以除外），如果当点 P (x , y)无论以何种方式趋向于点 P0(x0,y0)时，函数值 f (x , y)可以无限逼近常数A，则称A为函数 f (x ,y) 在PP0时的极限，记作,或,或,二重极限,二元函数的极限计算计算下列极限,二元函数的极限计算,换元时 与 不能相互制约,事实上，设,则,结果与 有关，故原极限不存在。,证明：,不存在。,证明： 要证明,不存在，即要证当,沿不同的路径趋向（0，0）时 ，,趋向于不同的值。,因为当,沿直线,趋向于（0，0）时,结果与 有关，故原极限不存在。,二元函数极限的计算,四则运算法
8、则（类似于一元函数极限运算法则）,例3,解：,依据运算法则得：,例4：,解：,利用重要极限：,例5：求,解：,原式,分析：,无穷小量与有界变量的乘积,例6：,解：,等价无穷小量代换,例6：,解：,二元函数的连续性,连续性判定：,区域上连续 ：,二元初等函数在其定义区域D上连续。,二元初等函数：由自变量x, y的基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算而构成的函数。,利用连续性求极限,例：,解：,二元初等函数的间断点(定义域之外的点),例8：,解：,闭区域上连续函数的性质,在闭区域D上连续的二元函数具有以下性质,（1）最值定理：有最大、最小值,（2）介值定理：能取得介于最大、最小值之间的任意值,（3）零点存在定理：,小结：,二元函数极限（注意趋近方式的任意性） 极限不存在确定 二元函数极限计算 二元函数连续性 连续性判断 间断点,练习题,2、计算下列极限,
