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1、高中物理 有界磁场问题归类复习教案有界磁场问题归类复习（教师用）一、带电粒子在圆形磁场中的运动MNO,LAO图1P例1、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，求OP的长度和电子通过磁场所用的时间MNO,LAO图2R/2/2BPO/解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动， 如图所示，连结OB，OAOOBO
2、，又OAOA，故OBOB，由于原有BPOB，可见O、B、P在同一直线上，且OOP=AOB=，在直角三角形P中，OP=(L+r)tan，而，,所以求得R后就可以求出OP了，电子经过磁场的时间可用t=来求得。 由得R=，图2例2、如图2，半径为的匀强磁场区域边界跟轴相切于坐标原点O，磁感强度，方向垂直纸面向里在O处有一放射源S，可向纸面各个方向射出速度为的粒子已知粒子质量，电量，试画出粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出粒子通过磁场空间的最大偏角解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为，由 得图2虽然粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此粒子作圆周运动的圆心必落在以O为圆心
3、，半径的圆周上，如图中虚线由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角在半径一定的条件下，为使粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径即粒子应从磁场圆直径的A端射出如图，作出磁偏转角及对应轨道圆心，据几何关系得，得，即粒子穿过磁场空间的最大偏转角为二、带电粒子在半无界磁场中的运动图3例3、（1999年高考试题）如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场是上的一点，从点可以向磁场区域发射电荷量为q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场
4、时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的点相遇，到点的距离为，不计重力和粒子间的相互作用(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径(2)求这两个粒子从点射入磁场的时间间隔解析：(1) 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为,则据牛顿第二定律可得： ,解得(2)如图所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆，分别表示在点相遇的两个粒子的轨道，圆心分别为O1和O2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为，由几何关系知PO1Q1=PO2Q2=从O点射入到相遇，粒子在的路径为半个圆周加弧长等于R；粒子在的路径为半个
5、圆周减弧长等于R粒子的运动时间 t1=T粒子的运动时间 t=T两个粒子射入的时间间隔tt1t2由几何关系得Rcos=L，解得：=2arccos故tarc cos图4例4、如图4所示，在真空中坐标平面的区域内，有磁感强度的匀强磁场，方向与平面垂直，在轴上的点，有一放射源，在平面内向各个方向发射速率的带正电的粒子，粒子的质量为，电量为，求带电粒子能打到轴上的范围图15解析：带电粒子在磁场中运动时有，则如图所示，当带电粒子打到轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到轴上方的最高点因，则当带电粒子的圆轨迹正好与轴下方相切于点时，点既为粒子能打到轴下方的最低点，易得综上，带电粒子能
6、打到轴上的范围为：三、带电粒子在长方形磁场中的运动图5例5、如图5，长为间距为的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为，两板不带电，现有质量为，电量为的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率应满足什么条件解析：如图，设粒子以速率运动时，粒子正好打在左极板边缘（图中轨迹），则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率小于时可不打在板上图设粒子以速率运动时，粒子正好打在右极板边缘（图中轨迹），由图可得，则其圆轨迹半径为，又由得，则粒子入射速率大于时可不打在板上综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：或llr1OV+qV图6例6、长
7、为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A使粒子的速度V5BqL/4m；C使粒子的速度VBqL/m；D使粒子速度BqL/4mV5BqL/4m时粒子能从右边穿出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，有r2L/4，又由r2mV2/Bq=L/4得V2BqL/4mV2BqL/4m时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是A、B。图7四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例7、在边长为的内存在垂直纸面向里的磁感强度为
8、的匀强磁场，有一带正电，质量为的粒子从距点的点垂直方向进入磁场，如图所示，若粒子能从间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从间什么范围内射出解析：如图所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与边相切于点图6由图知，在中，由得，解得，则图7又由得，则要粒子能从间离开磁场，其速率应大于如图所示，设粒子速率为时，其圆轨迹正好与边相切于点，与相交于点易知点即为粒子轨迹的圆心，则又由得，则要粒子能从间离开磁场，其速率应小于等于综上，要粒子能从间离开磁场，粒子速率应满足粒子从距点的间射出五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动图8例8、如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为，A
9、板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在范围内的电子，为P点正上方B板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度，已知电子的质量，电子电量，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地求：（1）沿P方向射出的电子击中A、B两板上的范围（）若从点发出的粒子能恰好击中点，则电子的发射方向（用图中角表示）与电子速度的大小之间应满足的关系及各自相应的取值范围图12解析：如图所示，沿方向射出的电子最大轨迹半径由可得，代入数据解得该电子运动轨迹圆心在板上处，恰能击中板处随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小击中板的电子与点最远处相切于点，此时电子的轨迹半径为，并恰
10、能落在板上处所以电子能击中板区域和板区域图13在中，有，电子能击中板点右侧与点相距的范围电子能击中板点右侧与点相距的范围（）如图所示，要使点发出的电子能击中点，则有，图14解得取最大速度时，有，；取最小速度时有，所以电子速度与之间应满足，且，BBELdO图9六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例9、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，
11、然后重复上述运动过程求：（1） 中间磁场区域的宽度d;（2） 带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t.解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：由以上两式，可得可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图11所示，三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是等边三角形，其边长为2R所以中间磁场区域的宽度为OO3O1O2图11600（2）在电场中，在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间，则粒子第一次回到O点的所用时间为七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动图10例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围
12、内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4C/，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图所示由图中知，解得由得图OO2所以粒子沿环状的半径方
13、向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示由图中知由得所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度abcdSo图11例11、如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场一质量为、带电量为q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）abcdSo图解析：如图所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有由前面
