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1、,第三章 多维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布,3.1,定义: 把n个随机变量 的整体 ( ) 称为 n维随机变量,同时投掷两个骰子，观察两个骰子出现的点数。设第一个骰子出现的点数为X，第二个骰子出现的点数为Y，则X可能取值为1，2，3，4，5，6，Y也可能取值为1，2，3，4，5，6，则两个骰子出现的点数(X,Y)就是二维随机变量,引例一,引例二,炮弹命中点的平面位置要由水平距离X和垂直距离Y来确定，则炮弹命中点的平面位置（X,Y)也是二维随机变量,引例三,一炉钢的综合质量至少要由钢的硬度（X），含碳量（Y），含硫量（Z）等多个变量来描述，则一炉钢的综合质量至少要用三维随机变量（X,Y
2、,Z）来表示,对于随机试验E，是其样本空间。X(w) 和Y(w)是定义在样本空间上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。,二维随机变量的定义,X(w),Y(w),w.,(x,y),二维分布函数,联合分布函数,设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x, y,称二元函数 F(x,y)=P(X x,Yy) 为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。,复习：一维随机变量分布函数的性质,2.,1. x1x2, F(x1,y)F(x2,y) y1y2, F(x,y1)F(x,y2), 联合分布函数的性质,4. F(x+0,y)=F(x,y), F(x,y+
3、0)=F(x,y), 联合分布函数的性质,例2：设二维随机变量（X,Y）的分布函数为 求A,B,C的值,举个例子吧！,解：,二维离散型随机变量,设(xk,yk)(k=1,2,)是二维随机变量(X,Y)所取的一切可能值，且(X,Y)取各个可能值的概率为,则称为(X,Y)二维离散型随机变量，上式为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，简称分布律。,联合分布列,联合分布律的性质,例3：某学生求出的关于二维随机变量（X,Y）的分布密度如下表：,试分析该学生的计算结果是否正确？,例4：设有10件产品，其中2件是次品，从中随机抽取两次，每次取一件，取后不放回.以X表示第一次取到的次品件数。以Y表示第二
4、次取到的次品件数，求随机变量（X,Y）的概率分布.,解：（X,Y）的所有可能取值为(0,0), (0,1), (1,0), (1,1).,则（X,Y）的概率分布,例5.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是正品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下,对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取；(2)无放回抽取，求（X,Y）的概率分布。,二维连续型随机变量,设二维随机变量 (X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对任意的实数x, y,都有,则称 (X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y) 称为 (X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合分布
5、密度。,联合概率密度的性质,f (x,y)并不是二维随机变量(X,Y)取值(x,y)的概率，而是反映了(X,Y)集中在点(x,y)附近的密集程度。,例6. 设(X,Y)的分布密度是,求 (1) C的值; (2)分布函数; (3)（X,Y）落在如图三角形区域内 的概率。,例6. 设(X,Y)的分布密度是,求 (1) C的值; (2)分布函数;,常见的二维连续型随机变量的分布,均匀分布,设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为,其中 为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。,例7. 设(X,Y)在区域G（0y2x,0 x 2) 上服从均匀分布，求,(1
6、) (X,Y)的分布函数；,(2) P(YX2).,例8：设(X,Y)在 上服从均匀分布，求其分布函数F(x,y).,解：由于区域D的面积为6，所以(X,Y)的分布密度为,(2) 当,(1) 当,(3) 当,(4) 当,(5) 当,综上所述,F(x,y)=,0 x0或y0,xy/6,x/3,y/2,1,常见的二维连续型随机变量的分布,二维正态分布,若二维随机变量(X,Y)的分布密度为,其中10, 20, | |1, 则称 (X,Y) 服从参数为1 ,2,1,2,的二维正态分布。记作(X,Y) N(1 ,2,12,22,),二维正态分布,边缘分布与独立性,3.2,边缘分布,设二维随机变量(X,Y
7、)的联合分布函数为F(x,y)=P(Xx,Yy),则随机变量X的分布函数,称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。,称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。,边缘分布,FX(x),FY(y),二维离散型随机变量的边缘分布,设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为,则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为,(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为,1,例1：按3.1中例4的分布列，求（X，Y）关于X，Y的边缘分布密度,解：,故（X，Y）关于X，Y的边缘分布密度分别为,例2.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是正品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下,对下面两种抽取方式：(1)
8、 有放回抽取；(2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。,二维连续型随机变量的边缘分布,设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和 f(x,y),则,分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度。,例3：设二维R，V（X，Y）的二维联合概率密度函数为：求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.,例4. 设(X,Y)的分布密度是,求:(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。,解:,如果二维随机变量(X,Y)满足,则称X与Y相互独立 .,连续型,随机变量的独立性,对任意x,y, 有,离散型,例5. 已知(X,Y)的分布如下，判断X、Y是否独立。,解
9、：,x0,即：,对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立,y 0,解：,0x1,0y1,由于存在面积不为0的区域，,故X和Y不独立 .,例8. 设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：,求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并讨论X与Y的独立性。,(X,Y) N(1 , 2, 12, 22, ),X N(1 , 12),Y N(2 , 22),若(X,Y) N(1 , 2, 12, 22, ),X与Y相互独立,=0,例9. 设(X,Y)在区域G=(x,y):0y2x+2,-1x 0 上服从均匀分布，求(X,Y)关于X,Y的边缘 分布密度,并判断X与Y是否独立。,解:SG=1,二维随机变量函数的分
10、布,3.3,二维随机变量(X,Y)的分布,随机变量Z的分布,?,Z=g(X,Y),设(X,Y)为离散型随机变量，,Z=g(X,Y)为一维离散型随机变量.若对于不同的(xi,yj),g (xi,yj)的值互不相同,则Z的分布律为,二维离散型随机变量函数的分布,若对于不同的(xi,yj), g(x,y)有相同的值,则应取这些相同值对应的概率之和。,例1（X，Y）的联合分布密度为,求X+Y， X-Y分布密度。,离散型 卷积公式,例2. 设X和Y相互独立，其分布律为,求Z=X+Y的分布律。,例3:设X,Y相互独立,且XP(1), YP(2),证明:Z=X+YP(1+2),例4. 设(X,Y)的联合分布
11、密度为f(x,y), 边 缘分布密度分别为fX(x), fY(y), 求 Z=X+Y的分布密度。,二维连续型随机变量函数的分布,若X、Y独立,连续型 卷积公式,例5. 若XN(0,1),YN(0,1)，X与Y独立。 证：Z=X+YN(0,2) 。,X N(1 , 12),Y N(2 , 22),Z1=X+Y N(1+2, 12+22),X与Y相互独立,Z2=aX+bY N(a1+b2,a212+b222),Z=aX+bY,X与Y相互独立,Z=X-Y,例6. 若XN(0,1),YN(0,1)，X与Y独立。,解:,当z0,显然FZ(z)=0,当z0,思考： 已知相互独立的随机变量X和Y的分布函数为
12、FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y),N=min(X,Y)的分布函数。,M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.,又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:,即有 FM(z)= FX(z)FY(z),FM(z)=P(Mz),=P(Xz)P(Yz),=P(Xz,Yz),由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有,分析：,P(Mz)=P(Xz,Yz),类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是,
13、下面进行推广,即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z),=1-P(Xz,Yz),FN(z)=P(Nz),=1-P(Nz),=1- P(Xz)P(Yz),设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为,我们来求 M=max(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数.,(i =0,1，, n),用与二维时完全类似的方法，可得,特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,N=min(X1,Xn)的分布函数是,M=max(X1,Xn)的分布函数为:,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,若X1,Xn是连续型随机变量，在求得M=max
14、(X1,Xn)和N=min(X1,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.,留作课下练习.,当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有,FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n,需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时, 常称,M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn),为极值 .,由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.,例7. 某元件由两个相互独立的元件A1,A2 连接而成，其连接方式分别为：S1:串 联;S2:并联。设A1,A2的寿命X,Y服从 指数分布。求两种系统S1, S
15、2的寿命 的概率密度函数。,二维随机变量的条件分布,3.4,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这个分布就是条件分布.,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.,体重X,身高Y,体重X 的分布,身高Y 的分布,现在若限制1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布.,容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会很不一样.,例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加 .,二维随机变量(X,Y)的分布,随机变量Y的分布,?,X=x,设 (X,Y) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j，若P(Y=yj)0，则称,为在Y=yj下，随机变量X的条件分布律.,二维离散型随机变量的条件分布,条件概率分布的性质,X与Y相互独立,二维连续型随机变量的条件分布,设对于任意给定的0,有P(y-0, 若,存在,则称此极限为在Y=y下，随机变量X的条件概率分布函数.,为已知 Y=y下，X的条件概率密度函数 .,为已知 X=x下，Y的条件概率密度函数 .,对
