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1、,第二章 倒数与微分,第一节 倒数的概念,一. 变速直线运动的速度问题 1.汽车的行驶 在很短的时间内， 我们用平均速度来近似的代替瞬时速度，当 很小时，近似程度就越好, 此时由近似值就过渡到精确值 汽车在t+ 内的行驶路程为 ，在t时刻的速度 v(t) =,例 已知自由落体运动方程 S=1/2 gt2 求（1）落体在 t0 到 t0+ 这段时间内的平均速度； （2）落体在 t = t0 时的瞬时速度； （3）落体在 t =10s 到 t =10.1s 这段时间内的平均速度； （4）落体在 t =10s 时的瞬时速度。,（1） （2）由上式知，t = t0 时的瞬时速度为： （3）当t0 =1
2、0, =0.1s时，平均速度为 （4）当 t = 10s时，瞬时速度为,二. 曲线的切线问题 与曲线只有一个交点的直线为圆的切线，y=x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义，但在实际中切线只有一条,导数的定义,定义2-1 设函数 y = f(x)在点x0及其邻域有定义，当自变量x在点x0处取得增量 时，相应函数y取得增量 如果 存在，则称函数 y = f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y = f(x)在点x0处的导数，记做 ，即 =,比值 反映自变量 时，函数的平均变化率； 导数 反映函数在点x0处的瞬时变化率，即函数随自变量变化而变化的快慢程度； 若函数y = f(x)在区间（a,b
3、）内每一点都可导，则称函数y = f(x)在区间（a,b）内可导； 导函数简称导数,求导数的步骤,（1）求增量： （2）算比值： （3）取极限：,常见的导数公式,（常数的导数等于零） 幂函数,对数函数 指数函数,导数的几何意义,函数 y = f(x)在点x0处的导数 表示曲线 y = f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率k,k = tan = 函数在点M（x0,f(x0)）处的切线方程 函数在点M（x0,f(x0)）的法线方程,例 2-7 求曲线 在点（4 , 2）处的切 线方程和法线方程。 例 2-8 曲线 上何处的切线平行于直线y = x + 1。,可导的充要条件,定义2-2 若
4、存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的左导数，记作 ，即 =,同样，如果 存在，则称其为函数y = f(x)在点x0处的右导数，记作 ，即 = 因此，函数y = f(x)在点x0处可导的充要条件是 左右导数存在且相等，即 =,例 2-9 讨论函数y = f(x) = 在点x=0处的可导性。,可导与连续的的关系,定理2-1 若函数y = f(x)在点x处可导，则它在该点处必连续。 若函数y = f(x)在点x处连续，则它在该点处不一定可导。,例 2-11 讨论函数y = f(x) = 在点x = 1处的连续性与可导性。 连续性 左极限=右极限=函数值 可导性 左导数=右导数,第二节函数的
5、和、差、积、商求导法则,一、函数的和、差、积、商的导数 定理2-2 （导数的四则运算的法则） 若函数u = u(x),v = v(x)都是 x 的可导函数，则 （1） 也是x的可导函数，且 （2）u*v也是x的可导函数，且 （3） 也是x的可导函数，且 特别,（4） （5） 例2-12 求 例2-13 求 例2-14 例2-15 例2-16,例2-17 求y = tan x 的导数； 例2-18 求y = sec x 的导数； 例2-19 求函数 的导数，并求 例2-20 求函数 的导数,第三节 反函数与复合函数的导数,一 反函数的导数 定理2-3 设 为直接函数， 是它的反函数，如果 在区间
6、I内严格单调、可导，且 ，那么它的反函数 在对应的区间内可导，且有,结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数 例2-21 求 的导数 例2-22 求 的导数,基本初等函数的导数公式,（常数的导数等于零） 幂函数 三角函数,反三角函数,对数函数 指数函数,二 复合函数的导数 定理2-4 （复合函数求导法则） 若函数 在点x处可导，函数 在对应点u处可导，则复合函数 在点x处可导，且,例2-23 例2-24 例2-25 例2-26 例2-27,例2-28 例2-29 例2-30,第四节 隐函数、幂指函数及参数式函数的导数,一 隐函数的导数 用自变量x表示y的函数即 ，如y = 3x+1,y
7、= lnx+sinx等，称之为显函数； 函数y与自变量x的关系由方程F（x,y）= 0表示的函数称为隐函数，如 3x-y+1=0,xy+x+1=0等。,隐函数的求导法则：方程两边同时对自变量 x 求导，得到一个含 的方程式，从中解出 即可。 注：方程两边对 x 求导，是指遇到 x 时，可直接求出其导数；遇到 y 或 y 的函数时，把 y 看成中间变量，按照复合函数的求导法则先对 y 求导，再对 x 求导。,例 2-31 求由方程 所确定的函数 y 对自变量 x 的导数 例 2-32 求由方程 所确定的隐函数y 对自变量 x 的导数 例 2-33 求曲线 上点（3,-4）处的切线方程和法线方程,
8、二 幂指函数的导数 形如 的函数称为幂指函数。如 等 幂指函数求导方法： 1.对数求导法 2.指数求导法,1.对数求导法步骤： 1）两边取对数 2）方程两边同时对X求导，得到一个关于 的方程式，从中解出 2.指数求导法,例2-34 求函数的 导数 例2-35 设 例2-36 求函数 的导数,三 参数式函数的导数 定理2-5 设函数 由参数方程 所确定，当 都可导，且 ，则由参数方程所确定的函数（参数式函数） 的导数为,例2-37 求参数方程 的导数 例2-38 求曲线 在 处的切线方程和法线方程 例2-39 已知参数方程 ，求 。,第五节 高阶导数,定义一 函数 的导数 的导数称为 函数 二阶
9、导数，记为 定义二 若函数 存在n-1阶导数，并且n-1阶导数可导，那么函数 的n-1阶导数的导数，称为 的n阶导数，记为 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数,例2-40 求函数y = ax+b 的二阶导数 例2-41 设 ，求 例2-42 设 ，求 例2-43 求函数 的四阶导数 例2-44 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数,例2-45 求参数方程所确定的函数 的二阶导数 例2-46 求 的n阶导数 例2-47 设,第六节 微分的概念、基本公式及运算法则,一.面积的增量 定义2-3 设函数 在点 处可导， 则 称为函数 在点 处的微分，记做 或 ，即 这时也称函数 在点x处可微,例2-48 求函数 时的 。 例2-49 已知半径为 r 的球，其体积为 ，当半径 r 增大 时，求体积的增量和微分 例2-50 求下列函数的微分,二 微分的几何意义,
