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1、学 海 无 涯 数学学业水平考试常用公式及结论 一、集合与函数： 集合,1、集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 2、 集合相等：若： A B, B A ,则 A B 3. 元素与集合的关系：属于不属于：,空集：,4集合a , a , a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个； 12n,5.常用数集：自然数集：N 正整数集： N* 整数集：Z,有理数集：Q实数集：R,函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 f ( x ) = f ( x ) ，偶函数 f (x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； 偶函数的图象
2、关于y 轴成轴对称图形； 如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 如果一个函数的图象关于 y 轴对称，那么这个函数是偶函数 函数的单调性 1、定义：对于定义域为 D 的函数 f ( x )，若任意的x1, x2D，且 x1 x2,二次函数 y = ax2 +bx + c（ a 0 ）的性质, ,1、顶点坐标公式： ,2a4a,b4ac b2 ,b,， 对称轴： x ，最大（小）值： 2a,4a,1,4ac b 2,2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f (x) ax2 bx c(a 0); (2)顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0) ; (3)两根式 f
3、(x) a(x x1 )(x x2 )(a 0) . 指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m a n = a m + n ，（2） am an amn ，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n b n,学 海 无 涯,bn,an, b , a n,1 an,（5） （6）a 0 = 1 ( a0)（7） a n ,m an,1,n n,（8） a m m an （9） a m ,2、指数函数 y = a x,(a 0 且 a1)的性质：,值域：( 0 , +),（2）图象过定点（0，1）,3.指数式与对,数式的,a, 0) .,对数与对数函数,1
4、.对数的运算法则：,（1）a b = N b = log a N（2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b（5）a log a N = N,N,M,（6）log a (MN) = log a M + log a N（7）log a () = log a M - log a N,（8）log a N b = b log a N,a,（9）换底公式：log N =,log b a,log b N,n,a,am,n,m,（10）推论 logb log b ( a 0 ,且a 1 ,m, n 0,且,m 1 n 1 N 0 ).,（11）log a N =
5、,log N a,1,（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A,（其中 e = 2.71828）2、对数函数 y = log a x(a 0 且 a1)的性质： （1）定义域：( 0 , +) ；值域：R,（2）图象过定点（1，0）,2.图象平移：若将函数 y f (x) 的图象右,移a,、上移b 个单位，得到函数 y f (x a) b,律：左,右减,的图象； 规加，上加下减,平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 p ，则对于时间 x 的总产值 y ，有 y N (1 p)x . 函数的零点：1.定义：对于 y f
6、(x) ，把使 f (x) 0 的X 叫 y f (x) 的零点。即 y f (x) 的图象与X 轴相交时交点的横坐标。 2.函数零点存在性定理：如果函数 y f (x) 在区间a,b 上的图象是连续不断的一条 曲线，并有 f (a) f (b) 0 ，那么 y f (x) 在区间a,b 内有零点，即存在c a,b ，,（1）定义域：R ； Y,0,X,1,a 1,0,Y,X,1,互化： log N b ab N (a 0, a 1, N 0 a 1,0,Y,X,1,a 1,X,0,Y,1,0 a 1,2,学 海 无 涯 使得 f (c) 0 ，这个 C 就是零点。 二、圆：,1、斜率的计算公
7、式：k = tan=,21,x2 x1,y y,12,（ 90，x x ）,2、直线的方程（1）斜截式 y = k x + b(k 存在) ；（2）点斜式 y y 0 = k ( x x 0 ) (k 存在）；,（3）两点式,1,2121,y yx x,y y1x x,1212,ab,（ x x , y y ） ；4）截距式 x y 1（ a 0,b 0 ）,（5）一般式 Ax By c 0(A, B不同时为0） 3、两条直线的位置关系：,4、两点间距离公式：设 P1 ( x 1 , y 1 ) 、P 2 ( x 2 , y 2 )，则 | P1 P2 | =,2,12,2,12,x x y
8、y ,00,A2 B 2,5、点 P ( x , y )到直线 l ：A x + B y + C = 0 的距离： d Ax0 By0 C,6、圆的方程,7.点与圆的位置关系 点 P(x , y ) 与圆(x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种若 d (a x )2 (b y )2 ， 0000 则 d r 点 P 在圆外 (x a)2 ( y b)2 r 2,3,学 海 无 涯 d r 点 P 在圆上 (x a)2 ( y b)2 r 2 d r 点 P 在圆内 (x a)2 ( y b)2 r 2 8.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为 d) 直线 Ax By C 0 与
9、圆(x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种: d r 相离 0 d r 相切 0 d r 相交 0 . 9.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2， O1O2 d d r1 r2 外离 4条公切线; d r1 r2 外切 3条公切线; r1 r2 d r1 r2 相交 2条公切线; d r1 r2 内切 1条公切线; 0 d r1 r2 内含 无公切线. 三、立体几何： （一）、线线平行判定定理： 1、平行于同一条直线的两条直线互相平行。 2、垂直于同一平面的两直线平行。 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
10、这条直线和 交线平行。 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （二）、线面平行判定定理 1、若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2、若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 （三）、面面平行判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （四）、线线垂直判定定理： 若一直线垂直于一平面，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线。,4,学 海 无 涯 （五）、线面垂直判定定理 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。 2、如果两个平面互相垂直，
11、那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 （六）、面面垂直判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 四、三角函数：,1、同角三角函数公式,sin cos,sin 2+ cos 2= 1tan ,tancot=1,1 tan 2 ,tan 2 2 tan,2、二倍角的三角函数公式 sin2= 2sincoscos2=2cos2-1 = 1-2 sin2 3、两角和差的三角函数公式,sin () = sincos 土 cossincos () = coscos 干 sinsin tan tan tan 1 tan tan 4、三角函数的诱导公式 “奇变
12、偶不变，符号看象限。” 5、三角函数的周期公式 函数 y sin(x ) ，xR 及函数 y cos(x ) ，xR(A, 为常数，且 A0，,2,0)的周期T ；函数 y tan(x ) ， x k 2 , k Z (A, 为常数，且 A 0，0)的周期T . 五、平面向量 ：,2 1、向量的模计算公式：（1）向量法：| a | =a a a ； （2）坐标法：设a =（x，y），则| a | =x 2 y 2 2、平行向量 规定：零向量与任一向量平行。设a =（x1，y1）， b =（x2，y2），为实数 向量法： a b （ b 0 ） a = b,12,5,y1y2,xx,1 22 1
13、1,2,坐标法： a b （ b 0 ） x y x y = 0（y 0 ，y 0）,学 海 无 涯,3、垂直向量 规定：零向量与任一向量垂直。设a =（x1，y1）， b =（x2，y2） 向量法： a b a b = 0坐标法： a b x1 x 2 + y1 y 2 = 0 4、平面两点间的距离公式 d= | AB |AB AB (x x )2 ( y y )2 (A (x , y ) ，B (x , y ) ). A,B21211122 5、向量的加法 （1）向量法：三角形法则（首尾相接首尾连），平行四边形法则（起点相同连对角） （2）坐标法：设a =（x1，y1）， b =（x2，y
14、2），则a + b =（x1+ x2 ，y1+ y2） 6、向量的减法 （1）向量法：三角形法则（首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量） （2）坐标法：设a =（x1，y1）， b =（x2，y2），则a - b =（x1 - x2 ，y1- y2）,7、两个向量的夹角计算公式：（1）向量法：cos =,| a | b |,a b,（2）坐标法：设a =（x1，y1）， b =（x2，y2），则 cos =,1122,x 2 y 2x 2 y 2,x1 x2 y1 y2,8、平面向量的数量积计算公式：（1）向量法： a b = | a | | b | cos （2）坐标法：设a =（x1，
15、y1）， b =（x2，y2），则a b = x1 x2 + y1 y2 （3） ab 的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的 乘积 六、解三角形： ABC 的六个元素A, B, C, a , b, c 满足下列关系： 1、角的关系：A + B + C = ， 特殊地，若ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列，则B = 60，A +C = 120 2、诱导公式的应用：sin ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = -cosC , 3、边的关系：a + b c , a b c（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。）,4、边角关系：（1）正弦定理：,c,6,ab,sin Asin Bsin C, 2R （R 为ABC 外接圆半径）,a : b : c = sinA : sinB : sinC,分体型 a = 2R sinA , b = 2R sinB , c = 2R sinC ,学 海 无 涯,（2）余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 2bccosA ,b 2 = a 2 + c 2 2a ccosB ,c 2 = a 2 + b 2 2 a bcosC,cos A ,2bc2ac,b2 c2 a2a2 c2 b2, cos B ,2ab,a2 b2 c2,c
