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1、学 海 无 涯,广西民族师范学院数学与计算机科学学院数学与应用数学,数学与计算机科学学院,广西民族师范学院 数学与应用数学教研室,竞赛数学教案,张龙军13123411259909242428,广西民族师范学院,数学与应用数学,数学与计算机科学学院,学 海 无 涯 课程简介 课程性质：竞赛数学是高等师院校数学教育专业本科一门专业选修课。旨在给数学与应用数学（师范）专 业的学生掌握数学竞赛的基本知识，提高师范生的数学教学的适应能力，提高学生的数学教育教学素养。为学 生走上工作岗位开展数学课外活动打下扎实的基础。竞赛数学是随着数学教育课程的发展而产生的一门新课 程。课程涉及数学竞赛的内容、思想和方法
2、；也涉及到数学竞赛教育和数学课外教育的本质、方法、规律和途 径的问题；课外学习与课堂学习的关系问题；辅导教师的进修和提高的问题。课程以数学竞赛所涉及的主要内 容：数论、代数、几何及组合数学为载体，尤其注重数学思想和方法的探究，以提高学生的数学素养为目标。 竞赛数学又不同于上述这些数学领域。通常数学往往追求证明一些概括广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求一些 特殊的问题，通常数学追求建立一般的理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊方法来解决特殊问题；而且一旦 某个问题面世，即成为陈题，又需继续创造新的问题。竞赛数学属于硬数学范畴，它通常也与纯粹数学一 样，以其内在美，包括问题的简练和解法的巧妙，作为衡量其
3、价值的重要标准。竞赛数学不能脱离现有数学分 支而独立发展，否则就成了无源之水，所以它往往由某些领域的专家兼稿。 课程任务：通过本课程的学习，使学生初步熟悉、掌握竞赛数学的主要内容，并能初步运用竞赛数学的思想和 方法，解决数学竞赛中的一般问题，尝试创造性的工作，培养学生的解题能力，培养学生对数学竞赛的兴趣， 打下从事中学数学竞赛研究与实践的基础。 教学手段及教学方法：课堂讲授为主，习题课、课外辅导为辅。多安排思考题和组织讨论，结合现代化的计算 机技术辅助教学提高教学效率。 考核方式：采用闭卷笔试方式。考试时间为120 分钟。由于本课程主要的不是传承新知识的课程，而是复习、 研究与提高的知识综合运
4、用型课程。因此课程中所选取的例题难度较大。考核时主要考查学生能否用竞赛数学 中解题思想和方法来解决数学竞赛中的低、中档带普适性的问题，不可拔高要求进行考核。考核的题目中应有 60%70%的题目在课程学习中有原型，其余的30%40%的题目也不宜太难。学生成绩由平时成绩 （30%）、期末考试成绩（70%）构成。,广西民族师范学院,数学与应用数学,数学与计算机科学学院,学 海 无 涯 广西民族师范学院 2016/2017 学年第一学期 教师授课计划表 课程名称：竞赛数学授课班级：数本 141、142 班 总课时：51周课时：8授课教师：张龙军,学 海 无 涯,广西民族师范学院,数学与应用数学,数学与
5、计算机科学学院,选课学生名单,数学与计1算机科学学院,广西民族师范学院,学 海 无 涯 第一讲 从数学竞赛到竞赛数学 学习内容分析 竞赛数学课程形成于数学竞赛活动。数学竞赛(或数学奥林匹克)是通过数学内容而进行的教育活动，其立足点 在教育；竞赛数学(或奥林匹克数学)是在数学竞赛活动中形成的一个数学层面，它虽然带有教育的目的，但它是数 学。经过50 多年(从1959 年算起)的工作发展和知识积累，数学竞赛活动既诞生了一个数学教育的新分支，又形成 了一个教育数学的新层面。 学习者分析 本课程开设于第五个学期，学生已经学习完数学专业基础课，前面已经学习了初等代数研究和初等几何研究课 程，对数学竞赛的
6、一些问题有了基本的了解，作为数学教育专业学生，要了解本学科的历史与现状，深刻认识数学 竞赛的教育价值。 教学设计思路 本章首先从教育的角度, 探讨数学竞赛活动, 介绍国内外数学竞赛的由来与发展,分析数学竞赛的教育性质与 功能;然后从数学的角度,分析竞赛数学的内容、方法与特征,并就数学竞赛的命题和解题做出阐述.这既是对历史资料 的初步总结,又是从数学与教育学的结合上研究竞赛活动的理论尝试.，分5 小节来完成本章的学习。 第一节数学竞赛的产生和发展主要是介绍解题竞赛的来龙去脉，数学竞赛的先导匈牙利数学竞赛，数学 竞赛的兴起与发展，并通过一些问题作为案例分析，通过讲解、讨论、同学们亲自动手操作，了解
7、国际数学竞赛发 展。 第二节世界各国数学竞赛概况主要介绍苏联和美国的数学竞赛情况，概括归纳其特点及给我们的启示。 第三节数学竞赛在中国，介绍全国高中数学联赛，全国初中数学联赛，华杯赛，全国中学生数学冬令营，女子 数学奥林匹克，西部数学奥林匹克，重点是竞赛的目的、组织、内容、命题等，并通过一些问题讲解进行案例分析。 第四节数学竞赛的教育价值主要讲解数学竞赛在人才选拔、学生数学学习、中学数学教育、数学师范生培养等 方面的作用和意义，这是本讲重点，国内举办的系列数学竞赛活动，高等师范院校数学专业开设竞赛数学课程，目 的意义是什么，有赖于对数学竞赛教育价值的认识和理解。 第五节数学竞赛和竞赛数学主要通
8、过统计分析IMO 试题内容分布情况，归纳总结数学竞赛命题的规律、内容 和发展趋势，把握竞赛数学的特征和教育价值。竞赛数学的文献分析介绍竞赛数学四类文献资料，关于国内外数学 竞赛试题与解答，关于数学竞赛解题的理论与实践，关于竞赛数学的基本特征，关于竞赛数学的命题。 一、教学目标 1、了解数学竞赛的产生与发展，了解世界各国数学竞赛概况； 2、了解数学竞赛在中国的发展，深刻认识数学竞赛的教育价值； 3、理解数学竞赛和竞赛数学联系，理解竞赛数学和大学数学和中小学数学的联系。 二、教学重难点 教学重点是美国数学竞赛概况；中国数学竞赛概况；竞赛数学的特征和教育价值； 教学难点集中在本章第二节美国数学竞赛的
9、体系和特点和第三节高中数学联赛大纲、初中数学联赛的大纲、命 题原则，第五节竞赛数学内容、规律和发展趋势。,数学与计2算机科学学院,广西民族师范学院,学 海 无 涯 三、教学方法 课堂集中理论讲授、学生自主学习、小组讨论与合作学习教与学方法渗透运用，并引导学生进行实践操作练习， 尝试解决一些竞赛数学问题。 四、教学过程 本章的教学内容不按小节分开引导学生学习，按本章的知识逻辑结构进行教学，安排8 学时，理论讲授和讨论学 习6 时，小组合作讨论练习2 学时。 第一课时：数学竞赛的产生和发展 （一）导入 观看奥运开幕式视频。在世界体育史上，奥林匹克运动起源于古希腊的一座神庙-奥林匹亚，它是关于体能的
10、 精神，数学奥林匹克与体育奥林匹克类似，是一项传统的智能竞赛项目。 （约8 分钟） （二）新课学习 1、溯源解难题竞赛的来龙去脉 数学是锻炼思维的体操，核心就是问题，解数学难题的竞赛有着悠久的历史，古希腊几何难题的比赛，我国战 国时期的田忌赛马对策等。 16 世纪解三次方程比赛；用逻辑关系图讲解：费罗，得意门生菲奥，塔塔利亚，卡丹，费拉里， 盛金等。 写出卡丹公式: 一般一元三次方程： 简介：（卡尔达诺死后发表的论赌博游戏一书被认为是第一部概率论著作。同时卡尔达诺还是占星术界 的大牛。占星术嘛，大家或许都玩过，就是星座什么的，会预测双鱼座女孩儿明天会遇到帅哥，处女座的老板回 家路上会捡到钱什么
11、的。但如果你认为卡尔达诺玩的占星术也是那种的话，就只能说你想法太low 了。这位大神 预测自己在1576 年9 月21 日会死。结果，到了这一天，卡尔达诺身体健壮如一头牛一样。街坊邻里也在问他： “大神，今儿，您什么时候死呀？”于是，卡尔达诺自杀了死于对高逼格的保持与追求。 上世纪80 年代，中国的一名中学数学教师范盛金对解一元三次方程问题进行了深入的研究和探索，发明了 比卡尔丹公式更实用的新求根公式盛金公式，并建立了简明的、直观的、实用的新判别法盛金判别法， 同时提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑问题，且很有趣味。盛金公式的特点是由最简重 根判别式A=b23ac；B=bc9
12、ad；C=c23bd 和总判别式=B24AC 来构成，体现了数学的有序、对称、和谐 与简洁美，简明易记、解题直观、准确高效，特别是当=B24AC=0 时，盛金公式3 其表达式非常漂亮，不存 在开方（此时的卡尔丹公式仍存在开立方），手算解题效率高。盛金公式3 被称为超级简便的公式。盛金公式与 判别法及定理形成了一套完整的、简明的、实用的、具有数学美的解三次方程的理论体系，范盛金创造出的这套 万能的系统方法，对研究解高次方程问题及提高解三次方程的效率作出了贡献。） 南宋数学家秦九韶至晚在 1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式（秦九韶一元三次方程求根公式）， 欧洲人在400 多年后才发现，但
13、在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。（数学九章等） 2、数学竞赛的先导匈牙利数学竞赛,学 海 无 涯 世界上真正意义上的数学竞赛源于匈牙利，早在1894 年，匈牙利数学和物理学学会为了纪念物理学家厄特 沃什罗兰担任匈牙利宗教与公共教育部长，面向当年的中学毕业生组织了首次数学竞赛，这被认为是近代以来 最早的数学竞赛。这一竞赛目前被称为“屈尔沙克约瑟夫中学生数学竞赛”，迄今已举办了超过100 届，考点由 以前的3 个增至20 个，考试办法也由开卷改为闭卷。除了这个比赛，匈牙利每年还有教育部门举办的中学生数 学竞赛，有的国家将其称为国家奥林匹克竞赛，但匈牙利从来没有这样叫过。 每年
14、10 月举行一次，三道题，限4h 做完，允许使用任何参考书。 试题特点：难易适中，别具风格，用中学初等数学知识就可以解答，但又涉及许多高等数学课题。 例题：在任意6 个人中，总有三个人相互认识或相互不认识。 该定理等价于证明这 6 个顶点的完全图的边，用红、蓝二色任意着色，必然至少存在一个红色边三角形， 或蓝色边三角形。 注：这个定理以弗兰克普伦普顿拉姆齐命名，1930 年他在论文On a Problem in Formal Logic 形式逻辑上的一个问题证明了R(3,3)=6。 证明如下：首先，把这6 个人设为A、B、C、D、E、F 六个点。由A 点可以引出AB、AC、 AD、AE、AF
15、五条线段。设：如果两个人认识，则设这两个人组成的线段为红色；如果两个人不认 识，则设这两个人组成的线段为蓝色。 由抽屉原理可知：这五条线段中至少有三条是同色的。不妨设AB、AC、AD 为红色。若BC 或CD 为红色，则结论显然成立。若BC 和CD 均为蓝色，则若BD 为红色，则一定有三个人相互 认识；若BD 为蓝色，则一定有三个人互相不认识。 下面不用图给出R(3,3)=6 的证明： 对于A 以外的5 个人可分为Friend 和Strange 两个集合。 Friend=其余5 人中与A 互相认识的集合； Strange=其余5 人中与A 互相不认识的集合。 根据抽屉原理，Friend 和Str
16、ange 中有一个集合至少有3 个人，不妨 假设是集合Friend。 Friend 中3 个人P,Q,R 若是彼此互相不认识，则问题已得到证明。否则有两个人互相认识，不妨设这两个人 是P和Q，则A，P，Q 这3 个人彼此认识。 若是集合Strange 至少有3 个人，可以同样讨论如下：若Strange 有3 人 L，M，N 彼此互相认识，则问题的条件已得到满足。否则设L 和M 互不相识， 则A，L，N 互不相识。 例题：平面上的4 个点可以连接成6 条线段，证明：最长线段和最短线段 之比不小于2.,数学与计3算机科学学院,广西民族师范学院,数学与计4算机科学学院,广西民族师范学院,学 海 无 涯 阅读：匈牙利：没有培训班的数学强国2012-10-31 09:17 来源：半月谈网 在国际数学奥林匹克竞赛的历史上，仅拥有一千万人口的中欧国家匈牙利可谓战果辉煌。自1959 年参加第 一届国际数学奥林匹克竞赛以来，匈牙利以累计77 枚金牌位居金牌榜第4 位。然而，记者发现，匈牙利中小学 生既无奥数之苦恼，也不受奥数之煎熬。他们没有功利性的奥数教育，更无“全民奥数
