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1、1 1991 年全国高考数学（理科 ）试题 考生注意：本试题共三道大题（26 个小题） ，满分 120 分 一选择题（共选择题（共 15 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 45 分分 每小题都给出代号为 A，B，C，D 的 四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号 内每一个小题选对得 3 分，不选或选错一律得 0 分） 1已知，并且是第二象限的角，那么的值等于 4 sin 5 tan A B C D 3 4 4 3 4 3 3 4 【答案】A 【解析】由题设，所以 3 cos 5 4 tan 3 2焦点在，顶点在的抛物线方程是( 1,0)(1,0
2、) A B CD) 1(8 2 xy) 1(8 2 xy) 1(8 2 xy) 1(8 2 xy 【答案】D 【解析】抛物线开口向左，且，所以1 1 2 p 4p 3函数的最小正周期是xxy 44 sincos A B C D 2 24 【答案】B 【解析】 44222222 cossin(cossin)(cossin)cossincos2yxxxxxxxxx ，所以最小正周期是 4如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中，异面直线共有 A12 对 B24 对 C36 对 D48 对 【答案】B 【解析】每一条侧棱与不共点的其余底面 4 条边均异面，所以共有 24
3、对 2 5函数的图象的一条对称轴的方程是 5 sin(2) 2 yx A B C D 2 x 4 x 8 x 4 5 x 【答案】A 【解析】 对称轴的方程满足， 则， 显然 5 2() 22 xkkZ () 2 xkkZ 1k 时 2 x 6如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点SABC 在底面的射影在内，那么是的SOABCOABC A垂心 B重心 C外心 D内心 【答案】D 【解析】由题设可知点到三边的距离相等，所以是的内接圆的圆心OABCOABC 7已知是等比数列，且，那么的值等于 n a252, 0 645342 aaaaaaan 53 aa A5 B10
4、 C15 D20 【答案】A 【解析】设公比为，则由题设可得，即，则q 2 222 4 44 2 225 a aaq q 22 4 1 ()25aq q ，即 4 1 ()5aq q 35 5aa 8如果圆锥曲线的极坐标方程为，那么它的焦点的极坐标为 16 53cos A B C D(0,0),(6, )0 , 3(),0 , 3()0 , 3(),0 , 0()0 , 6(),0 , 0( 【答案】D 【解析】曲线是椭圆，当时得时得，故焦点的极08,ac2ac26c 坐标为)0 , 6(),0 , 0( 9从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台，其中至少要有甲型与乙型电视机各 1
5、 台， 则不同的取法共有 A140 种 B84 种 C70 种 D35 种 3 【答案】C 【解析】直接法： 1221 4545 70C CC C 间接法： 333 745 70CCC 10如果且，那么直线不通过0AC 0BC 0AxByC A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】C 【解析】，由于且，所以，故 D 正确 AC yx BB 0AC 0BC 0,0 AC BB 11设甲、乙、丙是三个命题如果甲是乙的必要条件 ； 丙是乙的充分条件但不是乙的必要 条件那么 A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C丙是甲的充要条件 D丙不是甲的
6、充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A 【解析】由题意，乙甲，丙乙，但乙丙，从而可得甲丙，丙甲 12的值等于) 2 1 1 () 5 1 1)( 4 1 1)( 3 1 1 (lim n n n A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】 11112 3 41 lim (1)(1)(1)(1)lim 34523 4 52 nn n nn nn 2 lim2 2 n n n 13如果奇函数在区间上是增函数且最小值为 5，那么在区间上( )f x3,7( )f x 7, 3 是 A增函数且最小值为 B增函数且最大值为55 C减函数且最小值为 D减函数且最大值为55 【答案】B 【解析】若，则，
7、是增函数的最大值为 7, 3x 3,7x ()( )fxf x ( 3)f 4 (3)5f 14圆上到直线的距离为的点共有 22 2430 xxyy10 xy 2 A1个 B2个 C3个 D4个 【答案】C 【解析】 圆的标准方程为， 圆心到直线的 222 (1)(2)(2 2)xy( 1, 2) 10 xy 距离为，故与直线平行的直径上和与直线平行的切线上满足条件的点分别210 xy 有 2 个和 1 个 15设全集为，那R( )sin , ( )cosf xx g xx( )0,( )0Mx f xNx g x 么集合等于( ) ( )0 x f x g x A B C DMNMNMNMN
8、 【答案】D 【解析】由题设，则， , 2 Mx xkkZNxxkkZ ( ) ( )0 x f x g x MN 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 5 小题；每小题小题；每小题 3 分，共分，共 15 分把答案填在题中横线上分把答案填在题中横线上 16的值是 11 arctanarctan 32 【答案】 4 【解析】 由于， 所 1111 tan(arctan )tan(arctan) 11 3232 tan(arctanarctan)1 111 1 32 1tan(arctan ) tan(arctan)1 323 2 以 11 arctanarctan 324 17不等式的解集是
9、16 2 2 xx 5 【答案】21xx 【解析】，得，解得解集是 22 220 6166 xxxx 2 20 xx21xx 18已知正三棱台上底面边长为 2，下底面边长为 4，且侧棱与底面所成的角是，那么45 这个正三棱台的体积等于 【答案】 3 14 【解析】延长正三棱台的三条母线，交于一点，可得一个正三棱锥，根据比例关系可得O 棱台的高为，故正三棱台的体积为 2 3 3 12 314 ( 334 34 3) 333 V 19 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项 若实数， 7 (1)ax 3 x 2 x 4 x1a 那么 a 【答案】 10 1 5 【解析】由题设可得的系数分别
10、为，则 234 ,xxx 524334 777 ,Ca Ca Ca 4352 77 2CaCa ，化简得，由于，所以 34 7 Ca 2 51030aa1a 10 1 5 a 20 在球面上有四个点， 如果两两互相垂直， 且，, , ,P A B C,PA PB PCPAPBPCa 那么这个球面的面积是 【答案】 2 3 a 【解析】因为球的直径等于以为棱的长方体的对角线的长，从而，,PA PB PC23Ra 故球面的面积为 22 3 4 ()3 2 a Sa 球面 三解答题：本大题共 6 小题；共 60 分 21 （本小题满分 8 分） 6 求函数的最小值，并写出使函数取最小值的的xxxxy
11、 22 cos3cossin2sinyx 集合 【解】本小题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的性质满分8分 22 sin2sin cos3cosyxxxx 1分 222 (sincos)2sin cos2cosxxxxx 3分1 sin2(1 cos2 )xx 5分2sin2cos222sin(2) 4 xxx 当时取得最小值 6分sin(2)1 4 x y22 使取最小值的的集合为 8分yx 3 |, 8 Nx xkkZ 22 （本小题满分 8 分） 已知复数，求复数的模和辐角的主值iz1 1 63 2 z zz 【解】本小题考查复数基本概念和运算能力满分8分 2分 22 36(1)3(1
12、)63 1112 zziii zii 4分1 i 的模1 i 22 1( 1)2r 因为对应的点在第四象限且辐角的正切，1 itan1 所以辐角的主值 8分 7 4 23 （本小题满分 10 分） 已知是边长为 4 的正方形，分别是的中点，垂直于ABCD,E F,AB ADGCABCD 所在的平面，且求点到平面的距离2GC BEFG 【解】本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的 位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力满分10分 7 如图，连结，分别交于 因为是正,EG FG EF BD AC,EF BDAC,H OABCD 方形，分别为和的中点，故，为的中点,E FABAD/EFBDHA
13、O 不在平面上否则，平面和平面重合，从而点在平面BDEFGEFGABCDG 上，与题设矛盾ABCD 由直线和平面平行的判定定理知平面， 所以和平面的距离就是/BDEFGBDEFG 点到平面的距离 4分BEFG ， BDACEFHC 平面，GC ABCDEFGC 平面EF HCG 平面平面，是这两个垂直平面EFG HCGHG 的交线 6分 作交于点，由两平面垂直的性质定理知平面，所以OKHGHGKOK EFG 线段的长就是点到平面的距离 8分OKBEFG 正方形的边长为4，ABCD2GC 4 2,2,3 2ACHOHC 在中，Rt HCG 2 2 3 2222HG 由于和有一个锐角是公共的，故R
14、t HKORt HCGRt HKORt HCG 222 11 1122 HO GC OK HG 即点到平面的距离为 10分BEFG 11 112 注：未证明“不在平面上”不扣分BDEFG 【编者注】本题用“等积代换” ，即亦可 B EFGG EFB VV 24 （本小题满分 10 分） 根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数 3 ( )1f xx ),( 【解】本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力满分10分 8 证法一证法一：在上任取且， 1分),( 12 ,x x 12 xx 则 3分 3322 2112121122 ()()()()f xf xxxxxxx xx
15、， 4分 12 xx 12 0 xx 当时，有； 6分 12 0 x x 222 11221212 ()0 xx xxxxx x 当时，有； 12 0 x x 22 1122 0 xx xx 8分 22 21121122 ()()()()0f xf xxxxx xx 即 21 ()()f xf x 所以，函数在上是减函数 10分 3 ( )1f xx ),( 证法二证法二：在上任取且， 1分),( 12 ,x x 12 xx 则 3分 3322 2112121122 ()()()()f xf xxxxxxx xx ， 4分 12 xx 12 0 xx 不同时为零， 12 ,x x 22 12 0 xx 又 ， 2222 12121212 1 () 2 xxxxx xx
