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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试2011 年普通高等学校招生全国统一考试 课标全国卷（理科数学）课标全国卷（理科数学） 第 I 卷第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 (1)复数的共轭复数是 2 1 2 i i （A） （B） （C） （D） 3 5 i 3 5 iii （2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0， ）单调递增的函数是 （A） (B) （C） (D) 2 yx1yx 2 1yx 2 x y
2、 （3）执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p 是 （A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040 （4）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加 各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A） （B） （C） （D） 1 3 1 2 2 3 3 4 （5）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则x2yx =cos2 （ A） （ B） （ C） 4 5 3 5 3 5 （D） 4 5 （6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为 （7）设直线 l 过双曲线
3、 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A,B 两点，为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为AB （A） （B） （C）2 （D）323 （8）的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为 5 1 2 a xx xx （A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40 （9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为yx2yxy （A） （B）4 （C） （D）6 10 3 16 3 （10）已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 1 2 :10, 3 Pab 2 2 :1, 3 Pab 3: 10, 3 Pab 4: 1, 3 Pab 其中的
4、真命题是 （A） （B） （C） （D） 14 ,P P 13 ,P P 23 ,P P 24 ,P P （11） 设函数的最小正周期为， 且( )sin()cos()(0,) 2 f xxx ，则()( )fxf x （A）在单调递减 （B）在单调递减( )f x0, 2 ( )f x 3 , 44 （C）在单调递增（D）在单调递增( )f x0, 2 ( )f x 3 , 44 (12)函数的图像与函数的图像所有焦点的横坐标 1 1 y x 2sin( 24)yxx 之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必
5、考题，每个试题 考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （13）若变量满足约束条件则的最小值为 。, x y 329, 69, xy xy 2zxy （14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，xOyC 12 ,F Fx 离心率为。 过 的直线 交于两点， 且的周长为 16， 那么的方程 2 2 l,A B 2 ABFC 为 。 （15） 已知矩形的顶点都在半径为 4 的球的球面上， 且,ABCDO6,2 3ABBC 则棱锥的体积为 。OABCD （16）在中，则的最大值为 。ABC60 ,3BAC
6、 2ABBC 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 12 分） 等比数列的各项均为正数，且 n a 2 12326 231,9.aaaa a 求数列的通项公式. n a 设 求数列的前项和. 31323 loglog.log, nn baaa 1 n b (18)(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为平行四 边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD. ()证明：PABD； ()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。 （19） （本小题满分 12 分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值
7、越大表明质量越好，且质量 指标值大于或等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得 到下面试验结果： （）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关 系式为 从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X（单位：元） ，求 X 的分 布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质 量指标值落入相应组的概率） （20） （本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，
8、已知点 A(0,-1)，B 点在直线 y = -3 上，M 点满 足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。 （）求 C 的方程； （）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 （21） （本小题满分 12 分） 已 知 函 数， 曲 线在 点处 的 切 线 方 程 为 ln ( ) 1 axb f x xx ( )yf x(1,(1)f 。230 xy （）求、的值；ab （）如果当，且时，求的取值范围。0 x 1x ln ( ) 1 xk f x xx k 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所
9、做的第一题记分。 做答时请写清题号。 （22） （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。DEABCABACABC 已知的长为，的长是关于的方程的两个根。AEnADABx 2 140 xxmn （）证明：，四点共圆；CBDE （）若，且，求，所在圆的半径。90A4,6mnCBDE (23)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （为参数） 2cos 22sin x y M 是 C1上的动点，P 点满足,P 点的轨迹为曲线 C22OPOM ()求 C2的方程 ()在以 O 为极
10、点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与 C1的异于 3 极点的交点为 A，与 C2的异于极点的交点为 B，求.AB (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 设函数,其中。( )3f xxax0a （）当时，求不等式的解集1a ( )32f xx （）若不等式的解集为 ，求 a 的值。( )0f x |1x x 2011 年普通高等学校招生全国统一考试2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试卷参考答案理科数学试卷参考答案 一、选择题 （1）C （2）B （3）B （4）A （5）B （6）D （7）B （8）D （9）C （10）A （11）A （12）D 二
11、、填空题 （13）-6 （14） （15） （16） 22 1 168 xy 8 32 7 三、解答题 （17）解： （）设数列an的公比为 q，由得所以。有条件 2 326 9aa a 32 34 9aa 2 1 9 q 可知 a0,故。 1 3 q 由得，所以。故数列an的通项式为 an=。 12 231aa 12 231aa q 1 1 3 a 1 3n （ ） 111111 loglog.log n baaa (12.) (1) 2 n n n 故 1211 2() (1)1 n bn nnn 12 111111112 .2(1)().() 22311 n n bbbnnn 所以数列的
12、前 n 项和为 1 n b 2 1 n n (18)解： （ ）因为, 由余弦定理得 60 ,2DABABAD3BDAD 从而 BD2+AD2= AB2，故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD. 故 PABD （）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为轴的正半轴x 建立空间直角坐标系 D-，则xyz ,。1,0,0A 03,0B， 1, 3,0C 0,0,1P ( 1, 3,0),(0, 3, 1),( 1,0,0)ABPBBC 设平面 PAB 的法向量为 n=（x,y,z） ，则 即 30 30 xy yz 因此可取 n=( 3,1
13、, 3) 设平面 PBC 的法向量为 m，则 0 0 m PB m BC 可取 m=（0，-1，） 3 42 7 cos, 72 7 m n 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 2 7 7 （19）解 （）由实验结果知，用 A 配方生产的产品中优质的平率为，所 228 =0.3 100 以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由实验结果知，用 B 配方生产的产品中优质品的频率为，所以 32 10 0.42 100 用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 （ ） 用 B 配 方 生 产 的 100 件 产 品 中 ， 其 质 量 指 标 值 落 入 区 间 90,9
14、4 , 94,102 , 102,110 的频率分别为 0.04，,054,0.42，因此 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X 的数学期望值 EX=20.04+20.54+40.42=2.68 (20）解解： ()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, MA =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（+） =0,即（-x,-4-MB AB MA MB AB 2y） (x,-2)=0. 所以曲线 C 的方程式为 y=x -2. 1 4 2 ()设 P(x ,y )为曲线
15、C：y=x -2 上一点，因为 y =x,所以 的斜 00 1 4 2 1 2 l 率为x 1 2 0 因此直线 的方程为，即。l 000 1 () 2 yyx xx 2 00 220 x xyyx 则 O 点到 的距离.又，所以l 2 00 2 0 |2| 4 yx d x 2 00 1 2 4 yx 2 0 2 0 22 00 1 4 14 2 (4)2, 2 44 x dx xx 当=0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2. 2 0 xl （21）解解： （） 22 1 (ln ) ( ) (1) x x b x fx xx 由于直线的斜率为，且过点，故即230 xy 1 2 (1,1) (1)1, 1 (1), 2 f f 解得，。 1, 1 , 22 b a b 1a 1b （）由（）知，所以 ln1 1 x xx 。 2 2 ln1(1)(1) ( )()(2ln) 11 xk
