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1、学 海 无 涯,北师大网络教育数值分析期末考试卷与答案 一填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 1.设有节点 x0 , x1, x2 ，其对应的函数 y f x 的值分别为 y0 , y1 , y2 ，则二次拉 格 朗 日 插 值 基 函 数 l0 (x) 为 。,2, ,012,2. 设 f x x ，则 f x 关于节点 x 0, x 1, x 3 的二阶向前差分,为 。, 1,0 ,3.设 A 1,2, 3,1,1 11 ， x 3 ，则 A 011 ,1, ， x 。,4. n 1个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分
2、，共 24 分） 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 什么是不动点迭代法？ x 满足什么条件才能保证不动点存在和不动点 迭代序列收敛于 x 的不动点？ 设 n 阶矩阵 A 具有 n 个特征值且满足 1 2 3 n ，请简单说 明求解矩阵 A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三求一个次数不高于 3 的多项式 P3 x ，满足下列插值条件：,1,注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。,（第,页）,并估计误差。（10 分）,四试用n 1,
3、 2, 4的牛顿-科特斯求积公式计算定积分 I 1 dx 。（10 分） 1,0 1 x 五用Newton 法求 f (x) x cos x 0 的近似解。（10 分）,六试用Doolittle 分解法求解方程组：,2,注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。,（第,页）,学 海 无 涯 256 x1 10 , 4, 2 636 x3 30,1319 x 19 （10 分 ）,123,3,20 x1 2x2 3x3 24, 2x 3x 15x 30,12,七请写
4、出雅可比迭代法求解线性方程组x 8x x 12的迭代格式，并,判断其是否收敛？（10 分）,0,y y,八就初值问题 y(0) y考察欧拉显式格式的收敛性。（10 分）,学 海 无 涯 数值分析（A）卷标准答案 一填空题（每小题 3 分，共 12 分）,1.,0,0102,(x x1 )(x x2 ),l x ,(x x )(x x ),； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1 。,二简答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4 分）,i,k 1 ik,对于对称正定阵 A，从a ,ii,ikii,l2 可知对任意 k i
5、有| l | a 。即 L 的元素不,会 增 大 ， 误 差 可 控 ， 不 需 选 主 元 ， 所 以 稳 定 。 （4 分 ） 2. 解：（1）若 x* x* ，则称 x* 为函数 x 的不动点。 （2 分） （2） x 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于 x 的不动点： 1） x 是 在 其 定 义 域 内 是 连 续 函 数 ； （2 分 ） 2） x 的 值 域 是 定 义 域 的 子 集 ； （2 分 ） 3） x 在 其 定 义 域 内 满 足 李 普 希 兹 条 件 。 （2 分 ） 3. 解 ： 参 照 幂 法 求 解 主 特 征 值 的 流 程
6、（8 分 ） 步 1：输入矩阵A，初始向量 v0，误差限 ，最大迭代次数 N; 步 2：置 k:=1,:=0，u0=v0/|v0|; 步 3：计算 vk=Auk-1;,步 4：计算,并 置 mk:=vkr, uk:=vk/mk; 步 5：若|mk- | ，计算，输出 mk,uk；否则，转 6； 步 6：若 kN,置 k:=k+1, :=mk，转 3；否则输出计算失败 信息，停止 三 解：（1）利用插值法加待定系数法：,设 px 满 足 p 1 2, p2 4, p3 12, ,2,22222,则 px 3x 7x 6, （3 分）,再 设 p3 x p2 x K x 1x 2x 3 （3 分
7、） K 2 （1 分 ）,k,3,注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。,（第,页）,r,i,vk ,1in, max v;,学 海 无 涯, ,32,3,px 2x 9x 15x 6 （1 分 ）, , ,2,4,3,1 4!,（2） Rx ,fx 1x 2x 3,（2 分）, ,1,1,2,f 0 ,四解：应用梯形公式得 I I ,f 1 （2 分 ）, 0.75 （1 分 ）, ,2,1 1 ,应用辛普森公式得： I I f 0 4 f,6 , 2 ,
8、f 1（2 分）, 0.69444444 （1 分 ） 应用科特斯公式得：, , ,4,1 , 1 , 1 , 3 ,I I 7 f 0 32 f,90 , 4 2 4 ,12 f 32 f 7 f 1（2 分）, 0.6931746 （2 分 ） 五解：由零点定理， x cos x 0 在(0,) 内 有 根 。 （2 分 ） 2,n,n1n,由牛顿迭代格式 x x,xn cos xn,1 sin x,n 0,1,. （4 分 ）,4,注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试
9、方式后打勾注明。,（第,页）,取 x0 4 得， x1 0.73936133;x2 0.739085178 x3 0.739085133x4 0.739085133,（3 分）,故 取 x* x 0.739085133 （1 分 ） 4 六解：对系数矩阵做三角分解：, 2,6 1,0 u11,u12u13 , 4,0 ,5 1319 l 636 ,0 211 l31l32, 1 ,2223 u33 ,uu （2 分 ）, 1, 256 3,A 21, 341 , 4 ,7 LU （4 分 ）,若 Ly b， 则 y1 10, y2 1, y3 4 ； （2 分 ） 若 Ux y ， 则 x (
10、3, 2,1)T 。 （2 分 ） 七解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为,学 海 无 涯, 0,0.5,B 1, ,0.5 01 （2 分 ） 0.50.50,其特征多项式为det(I B) 2 1.25 ，且特征值为 1 0, 2 1.25i, 3 1.25i （2 分 ） 故 有 B 1.25 1， 因 而 雅 可 比 迭 代 法 不 收 敛 。 （1 分 ） （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为 00.50.5, 000.5,B 00.50.5 （2 分 ）,其 特 征 值 为 1 0, 2 3 0.5 （2 分 ） 故 有 B 0.5 1， 因 而 雅
11、 可 比 迭 代 法 收 敛 。 （1 分 ） 八证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 1. 证 ： 该 问 题 的 精 确 解 为 y(x) y e x （2 分 ） 0 欧 拉 公 式 为 yi1 yi h yi (1 h) yi （2 分 ） 对任意固定的 x xi ih ， 有 y y (1 h)xi / h y (1 h)1/ h xi ， （2 分） i00 则 y e xi y(x ) （1 分 ） 0i,n,2.证：牛顿迭代格式为 x,66x2,n1, 5xn a,n 0,1, 2,（3 分）,a,66x2,因迭代函数为 x 5x ,63x3, 而 x 5 ,a , 又 x* 3 a ， （2 分 ）,则,6,5,注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。,（第,页）,2,3 3 a 3, 3 a 5 a 1 0 。,故此迭代格式是线性收敛的。 （2 分）,
