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1、教育教学实践能力测评教育教学实践能力测评 教 案教 案 课题：等差数列的概念及通项公式 考生姓名： 报名号： 档案号： 课题2.2.1 等差数列的概念及通项公式 教学目的 知识与技能：知识与技能：1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根 据定义判断一个数列是等差数列；2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能 灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。 过程与方法：过程与方法：1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理 能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性。 情感态度和价值观：情感态度和价值观：通过等差数列概念的归纳概括
2、，培养学生的观察、分析资 料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。 教学设想 教学重点教学重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式 解决一些简单的问题。 教学难点教学难点：(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用； (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看 通项公式。 教学方式启发式，归纳法，讲练法相结合 教学工具多媒体课件，板书。 教 学 过 程 【复习回顾】【复习回顾】 提问提问（课件）：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种 方法列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的
3、特 点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本 P41页的 4 个例子) (1)0，5，10，15，20，25，; (2)48，53，58，63，; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，. 请同学们来写出上述四个数列的第 7 项. 答：第一个数列的第 7 项为 30，第二个数列的第 7 项为 78，第三个数列的第 7 项 为 3，第四个数列的第 7 项为 10 510. 【新知引入】【新知引入】 讨论思考：讨论思考： 同学们依据什么写出了这四个数列的第 7 项呢?以第二个数列为例来说一说. 答:这是由第二
4、个数列的后一项总比前一项多 5，依据这个规律性得到了这个数列 的第 7 项为 78. （引导学生发现）（引导学生发现）上面四个数列有什么共同特征？ 答：相邻两项的差相等，都等于同一个常数. 提问： 作差是否有顺序，谁与谁相减？ 答：作差的顺序是后项减前项，不能颠倒. 引出概念：引出概念： 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常 数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫等差数列.这就是我们这节 课要研究的内容. 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这 个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示
5、). 强调说明：强调说明： 教 学 过 程 （1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； （2）对于数列an，若an-a n-1=d(与n无关的数或字母)，n2，nN*，则此数 列是等差数列，d叫做公差. 提问：定义中的关键字是什么? 答：从“第二项起”和“同一个常数” 。 很好，请同学们思考，数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在， 分别是什么？ 答 ： 数列(1)通项公式为 5n-5， 数列(2)通项公式为 5n+43， 数列(3)通项公式为 2.5n- 15.5，. 【合作探究】【合作探究】 好，同学们用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实
6、质上这几个通 项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性， 下面我们来共同思考. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式 等差数列定义是由数列相邻两项之间关系而得到的， 若一个等差数列an的首项是 a1，公差是d，则据其定义可得什么? 答：a2-a1=d,即a2=a1+d. a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d; a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d; 规律性的东西已经被找出来了，大家能由此归纳出等差数列的通项公式吗? 答：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,an-an-1=d. 将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d. 【
7、教师精讲】【教师精讲】 太棒了！同学们说的非常对，我们一起来总结一下： 由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d, 即a1=am-(m-1)d. 则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d, 即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式) 由此我们还可以得到. nm aa d nm 【例题精析】【例题精析】 例 1例 1 （1）求等差数列 8，5，2,的第 20 项; （2）-401 是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？ 答：（1）首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差
8、数列的 通项公式，得a20=8+(20-1)(-3)=-49. （2）由a1=-5,d=-9-(-5)=-4 得数列通项公式为an=-5-4(n-1). 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之, 得n=100，即-401 是这个数列的第 100 项. 说明:说明: (1)强调当数列an的项数n已知时，下标应是确切的数字； 教 学 过 程 (2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.要判断-401 是不是数列的项，关键是 求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401 成立. 例 2例 2 已知数列an的通项公式an=pn+q， 其中
9、 p、 q 是常数， 那么这个数列是否一定 是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 答：当n2 时， 取数列an中的任意相邻两项an-1与an(n2) an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p 为常数, 所以我们说an是等差数列，首项a1=p+q，公差为 p. 说明：说明： (1)若 p=0，则an是公差为 0 的等差数列，即为常数列 q，q，q，. (2)数列an为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q 是常数)，称其为第 3 通项公式. 【课堂练习】【课堂练习】 (1)求等差数列 3，7，11，的第 4 项与第 10 项. 解：解：根据题意
10、可知a1=3，d=7-3=4. 该数列的通项公式为an=3+(n-1)4，即an=4n-1(n1，nN*). a4=44-1=15，a 10=410-1=39. (2)求等差数列 10，8，6，的第 20 项. 解：解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-2. 该数列的通项公式为an=10+(n-1)(-2)，即an=-2n+12， 所以a20=-220+12=-28. (3)100 是不是等差数列 2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明 理由. 解：解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7. 因而此数列通项公式为an=2+(n-1)7=7n-5. 令 7n-5=100，解
11、得n=15.所以 100 是这个数列的第 15 项. (4)-20 是不是等差数列 0， ，-7，的项？如果是，是第几项？如果不是，请 2 1 3 说明理由. 解：解：由题意可知a1=0，d=, 2 1 3 因而此数列的通项公式为. 2 7 2 7 nan 令，解得.20 2 7 2 7 n 7 47 n 因为没有正整数解，所以-20 不是这个数列的项.20 2 7 2 7 n 教 学 过 程 【课堂小结】【课堂小结】 提 问 ：提 问 ： 1.本节课学习了什么？ 2.要注意什么？ 3.在生活中能否运用？ (让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力) 总 结 ：总 结 ： 通
12、过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式 a n-a n-1=d(n2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n1). 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道an，a1，d，n中任意三个，应用方程 的思想， 可以求出另外一个.最后， 还要注意一重要关系式an=am+(n-m)d和an=pn+q(p、 q 是常数)的理解与应用. 【作业】【作业】 课本第 45 页习题 2.2 A 组第 1 题，B 组第 1 题. 【板书设计】【板书设计】 本课主要以多媒体呈现课本全部知识，黑板上仅体现本课重点内容。 2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式 1. 定义 2. 数学表达式 3等差数列的通项公式 例 1： 例 2： 多媒体投影 【教学反思】【教学反思】
