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1、 1 / 6 勾股定理勾股定理 本章常用知识点： 1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。如果 用字母 a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示 为： 。 2、勾股数：满足 a +b =c 的三个 ，称为勾股数。 222 常见勾股数有： 3、常见平方数： ； ； ； ； ；121112144122169132196142225152256162 ； ； ； ； 289172324182361192400202441212484222 ； ； ； ；529232576242625252676262729272 专题归类： 专题一、勾股定理与面积 1、在RtA
2、BC 中，C=,a=5,c=3.，则RtABC 的面积90 S= 。 2、一个直角三角形周长为 12 米，斜边长为 5 米，则这个三角形的面积为： 。 3、直线 l 上有三个正方形 a、b、c，若 a 和 c 的面积分别为 5 和 11，则 b 的面 积为 4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4， 则 S1S2S3S4等于 。 5、三条边分别是 5,12,13 的三角形的面积是 。 6、如果一个三角形的三边长分别为 a,b,c 且满足：a +b +c +50=6a+8b+10c,
3、则这个三角形 222 的面积为 。 7、如图 1，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求 CD 的长？90ACB l a b c l 3 2 1 S4 S3 S2 S1 2 / 6 7、如下图，在 ABC 中， AB=8cm，90ABC BC=15cm， P 是到ABC 三边距离相等的点，求点 P 到ABC 三边的距离。 8、有一块土地形状如图 3 所示，AB=20 米，BC=15 米，CD=790DB 米，请计算这块土地的面积。 （添加辅助线构造直角三角形） D C B A 图 3 9、如右图：在四边形 ABCD 中，AB=2，CD=1，A=60，求四边形 ABCD 的面积。 10、 如
4、图 2-3， 把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠， 使点 C 落在 C 的位置上， 已知 AB=3， BC=7， 求：重合部分EBD 的面积 11、如图，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其 面积分别用 S1、S2、S3表示，则不难证明 S1=S2+S3 . (1) 如图， 分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形， 其面积分别用 S1、 S2、 B D C A 图 1 D C B A A B C P 3 / 6 S3表示，那么 S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1
5、、 S2、S3表示，请你确定 S1、S2、S3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用 S1、S2、S3 表示，请你猜想 S1、S2、S3之间的关系?. 专题二、勾股定理与折叠 1、如图 4，矩形纸片 ABCD 的边 AB=10cm,BC=6cm,E 为 BC 上一点，将矩形纸 片沿 AE 折叠，点 B 恰好落在 DC 边上的点 G 处，求 BE 的长。 2、有一个直角三角形纸片，两直角边的长 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 AC 沿 AD 对折，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长？ 3、 如图 6， 在
6、矩形纸片 ABCD 中， AB=，33 BC=6,沿 EF 折叠后， 点 C 落在 AB 边上的 点 P 处，点 D 落在 Q 点处，AD 与 PQ 相交于点 H，BPE=30 (1) 求 BE、QF 的长 (2) 求四边形 QEFH 的面积。 图 4 E G C D BA E D B C A 图 5 图 6 P HF E Q D CB A 4 / 6 专题三、利用勾股定理列方程求线段的长度 1.ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是 BC 上一点，且 ADAC，求 BD 的长 专题四、勾股数的应用 1、下列是勾股数的一组是（ ） A 4,5,6, B 5,7,12 C 12,13,
7、15 D 14 ,48,50 2、一个直角三角形的三边长是不大于 10 的三个连续偶数，则它的周长是 。 3、下列是勾股数的一组是（ ） A 2,3,4, B 5,6,7, C 9,40,41 D 10 24 25 4、观察下面表格中所给出的三个数 a,b,c，其中 a,b,c 为正整数，且 abc （1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当 a=21 时，求 b,c 的值 ,3,4,5 3 +4 =5 222 5,12,13 5 +12 =13 222 7,24,25 7 +24 =25 222 9,40,41 9 +40 =41 222 . 21,b,c 21 +b =c 22
8、2 专题五、勾股定理及逆定理有关的几何证明 1、 在四边形 ABCD 中，C 是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：ADBD 3、在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 为 CD 上一点 且 CF=CD 试说明AEF 是直角三角形。 4 1 D C BA D F CE B A 5 / 6 4、ABC三边的长为a,b, c，根据下列条件判断ABC的形状：a +b +c +200=12a+16b+20c ； 222 5、试判断，三边长分别为 2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n 为正整数）的三角形是否是直角三 角形？ 6、如图 2-12，ABC 中，C=90，
9、M 是 BC 的中点，MDAB 于 D 求证：AD2=AC2+BD2 专题七、最短路线问题 1、 有一正方体盒子，棱长是 10cm，在 A 点处有一只蚂蚁它想到 B 点处觅食，那么它爬行 的最短路线是多少？ A B 2、有一个长方体盒子。它的长是 70cm，宽和高都是 50cm，在 A 点处有一只蚂蚁它想到 B 点处觅食，那么它爬行的最短路线是多少？ 6 / 6 A B 3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为 60cm、30cm、10cm，A 和 B 是 这个台阶上两个相对的端点，在 A 点处有一只蚂蚁它想到 B 点处觅食，那么它爬行的最短 路线是多少？ 4、王力的家在高楼 15 层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为 1.2m,1.2m,1.3m， 则他所买的竹竿最大长度是多少？ 5、如图,已知圆锥的母线 AS=10，侧面展开图的夹角是 90，点 C 为 AS 的中点,A 处有一 只蜗牛想吃到 C 处的食物,但它不能直接爬到 C 处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行 的最短路程的图形并求出最短路程. B A A C B S
