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1、数列知识梳理一、数列及其有关概念1数列的概念按一定顺序排列的一列数叫做数列数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，注意：数列与数集是两个不同的概念，数集中的元素具有无序性和互异性，而数列中的数是按一定顺序排列的，并且可以重复2数列的通项公式如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式注意：（1）有的数列没有通项公式，有的数列的通项公式不止一个； （2）将代入通项公式，可以求出这个数列的每一项3数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集（或它的有限子集）这也决定了数列的图象是一
2、群孤立的点，这些点可以有有限多个，也可以有无限多个4数列的分类（1）按数列的项数，可以将数列分为有穷数列和无穷数列（2）按数列的项与项之间的大小关系，可以分为：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列二、等差数列1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差列的公差，通常用表示2等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，则它的通项公式为由此可知，已知等差数列的首项和公差，就可以求出这个数列的任何一项，这个等差数列也就完全被确定了通常称首项和公差是等差数列的两个基本量3等差数列与函数的关系（1）等差数列的通项公式与
3、函数的关系由等差数列的通项公式可知：当时，可以看成是关于的一次函数；当时，可知是常数函数不论是否为的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点（2）等差数列的前项和公式与函数的关系由等差数列的前项和公式可知：当时，可以看成是关于的二次函数（不含常数项，所以图象所在的抛物线过原点）；当时，可以看成是关于的一次函数（当时），或为常数函数（当时）注意：解有关等数列的题时，要注意引用函数的性质4等差数列的充要条件数列是等差数列（为常数，）（为常数，）（为常数）5等差数列的常用性质已知是等差数列，公差为，则：（1）；（2）若，则；（3）下标成等差数列的项组成的数列仍为等差数列，公差为；（4）仍为等差数列；（5
4、）数列（为常数）仍为等差数列，公差为三、等比数列1等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用表示需要特别注意的是，等比数列的每一项及公比都不为02等比数列的通项公式如果等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式为由此可知，已知等比数列的首项和公比，就可以求出这个数列的任何一项，这个等比数列也就是完全被确定了通常称首项和公比是等比数列的两个基本量3等比数列的充要条件数列是等比数列（为常数，），且4等比数列的常用性质已知是等比数列，公比为，则：（1）；（2）若，则；（3）下标成等差数理的项组成的数列仍为等
5、比数列，公比为；（4）（当各项均不为0时）为等比数列四、几种重要的题型1“知三求二”型在等差数列中，若已知五个量中的任意三个量，利用通项公式与前项和公式，可以求出其余的两个量同样地，在等比数列中，若已知五个量中的任意三个量，利用通项公式与前项和公式，也可以求出其余的两个量这所用的其实就是方程思想2求数列的通项公式（1）给出数列的前几项，写出该数列的一个通项公式解这个类题主要从以下几个方面考虑：负号用或来调节公式形式的数列，分子、分母要分别找通项，要充分借助分子、分母的关系对于比较复杂的数列，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从给出的前面若干项，逐次
6、求出它的差数列（后项减去它的前项所得之差构成的数列），最后得到一个等差或等比数列，则由此倒推回去，就能找到原数列的通项公式，这种方法称为逐差法此类问题虽无固定模式，但也有章可循，主要靠观察（观察规律）、比较（与已知数列比较）、归纳、转化（转化为等差数列或等比数列）等方法例1 求的一个通项公式解：设此数列为，其差数列为，则为：，即又，所以令取，得不等式，将它们相加，得，而，所以（2）已知，求这类问题主要是利用求通项公式特别需注意的是，最后应验证分段表示的公式是否能合并，即验证时的公式对是否适用（3）已知和的关系式求通项公式这类问题一般需要由已知关系式，将变为或再写出一个类似的关系式，将两个关系式的两边分别相减，从而将关系式中的和（如）转化为项例2 已知数列中，且，求解：当时，由，得，将两式相减，得，即又用心 爱心 专心
