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1、高中数学：6.4反三角函数教案（1）（沪教版高一下）6.4反三角函数（1）反正弦函数一、教学内容分析 根据反函数的概念，正弦函数y=sinx（xR）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R的一个子集-，那么函数y=sinx， x-，就存在反函数，为什么要选取-，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx， x-，的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x-1，1，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|1，arcsinx是-，上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx，x-1，1的图像和函数y=sinx， x
2、-，的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx，x-1，1是奇函数，且单调递增.二、教学目标设计 1理解函数y=sinx（xR）没有反函数；理解函数y=sinx， x-，有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是-1，1，值域是-，. 2知道反正弦函数y=arcsinx ，x-1，1的图像. 3掌握等式sin（arcsinx）=x，x-1，1和arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1. 4能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5会用数形结合等数学思想分析和思考问题.
3、三、教学重点及难点 教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质. 教学难点：反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题.四、教学用具准备直尺、多媒体设备五、教学流程设计 反正弦函数的定义 （ 师生讨论、探究、提炼概念）反正弦函数的图象与性质互为反函数的两个函数的图象与性质的关系正弦函数的图象与性质应用举例(求特殊值的反正弦函数值、用反正弦函数值表示角、运用反正弦恒等式化简或求值)巩固、反馈、总结、反思、作业六、教学过程设计 一、 情景引入 1复习 我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），xD，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=
4、f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2思考 那么正弦函数是否存在反函数呢？ 说明 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3讨论 正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）在所取区间上存在反函数；（2）能取到的一切函数值.
5、可以选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.二、学习新课 1概念辨析（1）反正弦函数的定义： 函数y=sinx， x-，的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x-1，1.（2）反正弦函数的性质： 图像 定义域-1，1 值域-， 奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1 单调性：增函数说明互为反函数的两个函数图像关于直线对称，函数y=sinx，x-，与函数y=arcsinx，x-1，1的图像关于直线对称. 2例题分析例1求下列反正弦函数的值：（1）arcsin；（2）arcsin0；（3）arcsin（-）解：（1）因为
6、sin=，且-，所以arcsin=. （2）因为sin0=0，且0-，所以arcsin0=0. （3）因为sin（-）=-，且-，所以arcsin（-）=-.例2用反正弦函数值的形式表示下列各式的x：（1）sinx=，x-，；（2）sinx=-，x-，；（3）sinx=- ，x-，0.解：（1）因为x-，由定义，可知x=arcsin； （2）因为x-，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin； （3）在区间-，0 上，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin； 在区间-，-上，由诱导公式，可知x=-+arcsin，满足 sinx=-.因此x= arcsin或x=-+ar
7、csin.例3化简下列各式：（1）arcsin（sin）；（2）arcsin（sin）；*（3）arcsin（sin20070）解：（1）因为-，设sin=，所以arcsin=，即arcsin（sin）=.（2）因为-，而-，且sin=sin，设sin=sin=，所以arcsin（sin）= arcsin（sin）=arcsin=.（3）因为sin20070=sin（53600+2070）=sin2070=sin（1800+270）=-sin270所以arcsin（sin20070）= arcsin（-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4求函数f（x）=2arcs
8、in2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x，则= arcsin2x，因为2x-1，1，arcsin2x-，所以x-，y-，根据反正弦函数的定义，得2x=sin，x= sin，将x，y互换，得反函数f-1（x）= sin，定义域是-，值域是-，. 3问题拓展例1证明等式：arcsin（-x）=-arcsinx，x-1，1证明：x-1，1， -x-1，1sinarcsin（-x）= -x，sin（-arcsinx）=-sin（arcsinx）=-x又因为arcsin（-x）-，-arcsinx-，且正弦函数在-，上单调递增，所以arcsin（-x）=-a
9、rcsinx，x-1，1.说明这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2设x，sinx=，用反正弦函数值表示x.解：因为x，所以（-x）-，又sin（-x）=sinx，得sin（-x）=，于是-x=arcsin，x=- arcsin.说明 对于用反正弦函数值表示区间-，外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习.以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由.（1）arcsin=；（2）arcsin=；（3）arcsin
10、1=2k+，kZ；（4）arcsin（-）=- arcsin；（5）sin（arcsin）=；（6）arcsin=.解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为-1，1；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为-，；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符.四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义；（2）反正弦函数的性质.五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4 （2）思考题：求函数f（x）=2-arcsin2x的反函数f-1（x），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1关于教学内
11、容 反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2关于教学方法 为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.- 6 - / 6
