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1、高中数学 4.5向量的数量积教案 湘教版必修2第 10 课时:2.4 向量的数量积(二)【三维目标】:一、知识与技能1. 掌握平面向量数量积运算规律,能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.2. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题二、过程与方法 1.通过师生互动,学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力;2.通过讲解例题,培养学生逻辑思维能力;3.让学生充分经历,体验数量积的运算律以及解题的规律。三、情感、态度与价值观1.让学生进一步领悟数形结合的思想;2.让学生进一步理解向量的数量积,进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于
2、创新的精神.【教学重点与难点】:重点:运算律的理解和平面向量数量积的应用难点:平面向量的数量积运算律的理解【学法与教学用具】:1. 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教学用具:多媒体、实物投影仪.【授课类型】:新授课【课时安排】:1课时【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题【复习提问】:1.(1)两个非零向量夹角的概念;(2)平面向量数量积(内积)的定义;(3)“投影”的概念;(4)向量数量积的几何意义;(5)两个向量的数量积的性质。2判断下列各题正确与否:若,则对任一向量,有; ( ) 若,则对任一非零
3、向量,有; ( )若,则; ( )若,则至少有一个为零向量; ( )若,则当且仅当时成立; ( )对任意向量,有 ( ) 二、研探新知1.数量积的运算律(证明的过程可根据学生的实际水平决定)(1)交换律:证明:设夹角为,则,(2)数乘结合律:证明:若,此式显然成立.若, ,若,综上可知成立.qq1q2ABOA1B1C(3)分配律: 在平面内取一点,作=, =,=, (即)在方向上的投影等于在方向上的投影和,即: , 即:【说明】:(1)一般地,()()(2),(3)有如下常用性质:|,()()(),2 向量的数量积不满足结合律分析:若有()(),设、夹角为,、夹角为,则()|cos,()|co
4、s,若,则|,进而有:()(),这是一种特殊情形,一般情况下不成立。举反例如下:已知|,|,|,与夹角是60,与夹角是45,()(|cos60),()(|cos45)而,故()()三、质疑答辩,排难解惑,发展思维 例1 已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求与的夹角解:由题意可得: 两式相减得:, 代入或得:,设的夹角为,则,,即与的夹角为例2求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。【举一反三】1 用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。 证:设= , = 为菱形 | = | = (+)(-) = 2 -2 = |2 - |2 = 0 ,ABCDEFH即菱形对角线互相垂直。2. 如图,
5、是的三条高,求证:相交于一点。变式:用向量证明三角形的三条角平分线相交于一点。例3 四边形中,=,=,=,,且,试问四边形是什么图形?例4 设与是夹角为60,且|,是否存在满足条件的,使|+|=2|-|?请说明理由。四、巩固深化,反馈矫正 1.已知|=1,|=,(1)-与垂直,则的夹角是_; (2)若,; (3)若、的夹角为,则|+|;2.已知|=2,|=1,与之间的夹角为,那么向量-4的模为_;|-4|-|3.设、是两个单位向量,其夹角为,求向量=2+与=2-3的夹角;6.对于两个非零向量、,(1)求使|最小时的值,并求此时与的夹角。(2)当的模取最小值时,求的值;求证:与垂直。解:(2),当时, 最小; ,与垂直。五、归纳整理,整体认识通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的5个重要性质解决相关问题. 六、承上启下,留下悬念 1向量的模分别为,的夹角为,求的模;2设是两个不相等的非零向量,且,求与的夹角。3设,是相互垂直的单位向量,求4.预习向量数量积的坐标表示。七、板书设计(略)八、课后记:- 5 - / 5