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1、高中数学 3.3简单的线性规划问题详案 新人教A版必修5简单的线性规划问题 一、教学内容分析普通高中课程标准教科书数学5(必修)第三章第3课时这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学”线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.简单的线性规划(涉及两个变量)关心的是两类问题:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.突出体现了优化的思想教科书利用生产安排的具体实例,介绍了线性规划问题的图解法,引出线性规划等的概念,最
2、后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用. 二、学生学习情况分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上,又通过实例,理解了平面区域的意义,并会画出平面区域,还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件,将实际问题转化为数学问题. 从数学知识上看,问题涉及多个已知数据、多个字母变量,多个不等关系,从数学方法上看,学生对图解法的认识还很少,数形结合的思想方法的掌握还需时日,这都成了学生学习的困难三、设计思想本课以问题为载体,以学生为主体,以数学实验为手段,以问题解决为目的,以几何画板作为平台,激发他们动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到
3、数学问题”的建构过程,“从具体到一般”的抽象思维过程,应用“数形结合”的思想方法,培养学生的学会分析问题、解决问题的能力。四、教学目标1了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念;理解线性规划问题的图解法;会利用图解法求线性目标函数的最优解2在实验探究的过程中,让学生体验数学活动充满着探索与创造,培养学生的数据分析能力、探索能力、合情推理能力及动手操作、勇于探索的精神;3、在应用图解法解题的过程中,培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力,体验数学来源于生活,服务于生活,体验数学在建设节约型社会中的作用.五、教学重点和难点求线性目标函数的最值问题是重点
4、;从数学思想上看,学生对为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题?以及如何想到要这样转化?存在一定疑虑及困难;教学应紧扣问题实际,通过突出知识的形成发展过程,引入数学实验来突破这一难点 六、教学过程设计(一)引入(1)情景某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?请学生读题,引导阅读理解后,列表 建立数学关系式 画平面区域,学生就近既分工又合作,教师关注有多少学生写出了线性数学
5、关系式,有多少学生画出了相应的平面区域,在巡视中并发现代表性的练习进行展示,强调这是同一事物的两种表达形式数与形.【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的,学生已初步学会了建立线性规划模型的三个过程:列表 建立数学关系式 画平面区域,可放手让学生去做,再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程,教师则在数据的分析整理、表格的设计上加以指导】教师打开几何画板,作出平面区域.(2)问题师:进一步提出问题,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?学生不难列出函数关系式.师:这是关于变量的一次解析式,从函数的观点看的变化引起z的变化,而是区域内的动点的坐标,对于每
6、一组的值都有唯一的z值与之对应,请算出几个z的值. 填入课前发下的实验探究报告单中的第列进行观察,看看你有什么发现?学生会选择比较好算的点,比如整点、边界点等.【学生思维的最近发现区是上节的相关知识,因此教师有目的引导学生利用几何直观解决问题,虽然这个过程计算比较繁琐,操作起来有难度,但是教学是一个过程,从中让学生体会科学探索的艰辛,这样引导出教科书给出的数形结合的合理性,也为引入信息技术埋下伏笔】(二)实验教师打开画板,当堂作出右图,在区域内任意取点,进行计算,请学生与自己的数据对比,继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数据.利润最大的实验探究报告单实验目的(1) 求的最大值,使满足约束
7、条件(2) 理解用图解法求线性规划问题的最优解,体会数形结合的思想. 进行实验与收集数据(1)打开几何画板依次画出点、线构造平面区域;(2)在区域内任取一点M,度量横坐标及纵坐标,计算=的值,并制表显示在屏幕上;(3)拖动点M在区域内运动,观察度量值的变化,猜想取得最大值时点M的位置.同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第5列:计数点n点的坐标直线的方程直线在y轴上的截距1234567猜想与假设_教师引导学生提出猜想:点M的坐标为(,)时,=取得最大值14.【在信息技术与课程整合过程中,为改变老师单机的演示学生被动观看的现状,让学生参与进来,老师(可以根据学生要求)操作,学生记录,共
8、同提出猜想,在当前技术条件受限时不失为一个好方法】师:这有限次的实验得来的结论可靠吗?我们毕竟无法取遍所有点,因为区域内的点是无数的!况且没有计算机怎么办,数据复杂手工无法计算怎么办? 因此,有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法.【形成认知冲突,激发求知欲望,调整探究思路,寻找解决问题的新方法】继续观察实验报告单,聚焦每一行的点坐标和对应的度量值,比如M(3.2, 1.2)时方程是,填写表中的第67列,引导学生先在点与直线之间建立起联系 -点M的坐标是方程的解,那么点M就应该在直线上,反过来直线经过点M,当然也就经过平面区域,所以点M的运动就可转化为直线的平移运动。教师拖动直线并跟踪,学生
9、看到直线平移时可以取遍区域内的所有点!这样我们的猜想就非常合乎情理了.然后顺利过渡到直线与平面区域之间的关系.师:由于我们可以将x,y所满足的条件用平面区域表示了,你能否也给利润z=2x+3y作出几何解释呢?学生很自然地联想到上面实验的结果,将等式z=2x+3y视为关于x,y的一次方程,它在几何上表示直线,当z取不同的值时可得到一族平行直线.请把你猜想1换一种说法:猜想与假设2_直线=经过点(,)时,=取得最大值14.将直线=改写为,这时你能把猜想2再换一种说法吗?此时水到渠成.猜想与假设3_直线经过点时,在y轴上的截距最大,此时=取得最大值14.最后探究出“=最值问题可转化为经过可行域的直线
10、在y轴上的截距的最值问题”来解决,实现其图解的目的.【借助计算机技术用运动变化的方法,创设实验环境,形成多元联系,展示数学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式,在数、图、表的关联中进行观察、分析,从而逐步帮助学生进行有层次的猜想,也为我们的研究提供一种方向,这是新课程积极倡导的合情推理】 教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念.(三)探究师:在上述问题中,若生产一件甲产品获利万元,生产一件乙产品获利万元,又应当如何安排生产才能获得最大的利润?再换几组数据试试(课本第100页) 让学生“主动”更换数据,教师借助几何画板“被动”地进行操作演示,师生继续实验
11、 ,发现结论同样成立. 进一步发现目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系,有时并不是截距越大,z值越大.实验结论_“目标函数的最值问题可转化直线z =2x+3y与平面区域有公共点时,在区域内找一个点M,使直线经过点M时在y轴上的截距最大”【从笔算到计算,从点到直线再到平面(区域),从一个函数到多个函数,从特殊到一般,从具体到抽象的认识过程,使学生经历数学知识形成、发现、发展的过程,获得问题的解决,这有助于培养学生的科学素养】(四)练习小结学生练习104第1题.及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况,练习目的:会用数形结合思想,将求的最大值转化为直线与平面区域有公共点时,在区域内找一个点,
12、使直线经过点时在y轴上的截距最小的问题,为节省时间,教师可预先画好平面区域,让学生把精力集中到求最优解的解决方案上(五)实例展示(课本第100页例5饮食营养搭配)营养学家指出,成人良好的日常饮食至少应该提供0.075kg的碳水化合物, 0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg的蛋白质,0.14kg的脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物,0.14kg的蛋白质,0.07kg的脂肪,花费21元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?【一是使学生认识到现实生活中存在许
13、多简单的二元线性规划问题,二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程,让学生全面参与课堂教学,完善知识结构体系】这里要关注平面区域本题是开放型的,而引例是封闭型的.(六)课后伸申师:在上述线性规划问题中,线性约束条件及线性目标函数是确定的,求最优解.这是问题的一方面,另一方面(1)若要求结果为整数呢?最优解是在哪?(2)若已知有唯一(或无数)最优解时,反过来确定线性约束条件或目标函数某些字母系数的取值(范围),又如何解决呢?(七)小结求最优解的一般步骤(板书):(1)画线性约束条件所确定的平面区域;(2)取目标函数z=0,过原点作相应的直线;(3)平移该直线,观察确定区域内最优
14、解的位置;(4)解有关方程组求出最优解,代入目标函数得最值.作业:第104页练习2,第106页习题34,第107页习题3.七、教学反思为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来,将精力放在对最优解的理解和突出思想方法上,可根据下列不同的情况,设计教学条件,支持教学(1)理想的实验应该是在网络环境的支持下完成的,教学之前,老师将积件传输到学生的计算机中,学生在单机的条件下自己动手操作(2)在学生缺乏信息技术工具的条件下,教学和作业都应避免繁琐的计算,而把注意力放在“算理”上另外数学探究的时间长会使学生失去耐心,基本训练时间无法保证,导致当前效果不直接,教学评价难以跟进,教师宜把握尺度、控制时间,组织起有效的课堂教学,提高驾驭课堂的能力与水平. 点评 该教学设计从研读教材入手,精心挖掘教学内容中的实验因子,依据教师实验报告的引导,使学生自己动手操作,通过观察、发现、思考、分析、归纳提出猜想等活动,完成对最优解的意义建构,体现了新课程“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”。同时在教育技术平台上进行师生互动“操盘”,改变单一的教师演示的模式