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1、高中数学 3.1.1 导数与函数的单调性（一） 教案 北师大选修2-23.1.1 导数与函数的单调性教学过程：【引 例】1、 确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：，在上是减函数，在上是增函数。问：1、为什么在上是减函数，在上是增函数？都是反映函数随自变量的变化情况。2、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1） 观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2） 利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1） 能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不
2、了？（产生认知冲突）（2） （多媒体放映） 【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x36x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。【探 究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象） 从函数f(x)=2x36x2+7的图象吗？1、研究二次函数的图象；（1） 学生自己画图研究探索。（2） 提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3） （开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，
3、显然要换个角度分析。（4） 提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5） 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1） 观察三次函数的图象；（几何画板演示）（2） 观察某个函数的图象。（几何画板演示）指出：我们发现函数的
4、单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有，则为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。结论应用：由以上结论知：函
5、数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：【例题讲解】例1、 求证：在上是增函数。由学生叙述过程老师板书：，即，函数在上是增函数。注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例2、 确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f(x)=(2x36x2+7)=6x212x, 令6x212x0，解得x2或x0当x(，0)时，f(x)0，f(x)是增函数;当x(2，+)时，f(x)0，f(x)是增函数.令6x212x0，解得0x2.当x
6、(0，2)时，f(x)0，f(x)是减函数. 学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1） 确定函数f(x)的定义域；（2） 求函数f(x)的导数f(x).（3） 令f(x)0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式，得x的范围，就是递减区间【课堂练习】1确定下列函数的单调区间(1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3(1)解：y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)
7、解：y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的单调增区间是(1，1).令3(x+1)(x1)0，解得x1或x1.y=3xx3的单调减区间是(，1)和(1，+)2、设是函数的导数, 的图象如图所示, 则的图象最有可能是( ) 小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？【课堂小结】1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f (x)0, 则f(x)为增函数;如果f(x)0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【思考题】对于函数f(x)=2x36x2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、在区间（0，2）内有几个解？【课后作业】课本p42习题2.4 1,2- 3 - / 3
