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1、双曲线的几何性质概要1双曲线的几何性质（参考教材P39图2-3-5）（1）范围：或，（2）对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点对称（3）顶点：这两个点称为双曲线的顶点，线段叫做双曲线的实轴，长为；线段（）叫做双曲线的虚轴，长为（4）渐近线：双曲线特有的性质，方程为等轴双曲线：，它的渐近线方程为，离心率（5）离心率：离心率，随着的增大，双曲线开口逐渐变得开阔对渐近线的理解应掌握以下几点：（1）“渐近”的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与两条渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，但永不相交（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法，把标准方程中的“”用“”替换即可得出渐近线方程（3）双曲线
2、的渐近线也是用来反映双曲线的开口大小程度的所以双曲线的离心率与渐近线之间有着密切的联系，二者之间可以互求已知渐近线方程时，可得的值，于是，因此可求出离心率的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时上述两类问题都有两解2特别提示学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质双曲线系的三种形态 1过已知定点A、B的双曲线系 例1 求过两点，且中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程 解：设所求双曲线为 双曲线过， 解得 故所求双曲线方程为 2与椭圆共焦点的双曲线系 例2 求与椭圆
3、有相同焦点，且经过点的双曲线方程 解：设所求双曲线为， 将点代入解得 故所求双曲线方程为 3与双曲线共渐近线的双曲线系 例3 求与双曲线有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程 解：设所求双曲线为 当时， 则，解得 此时所求双曲线方程为； 当时，则， 解得此时所求双曲线方程为高考资源网w.w.w.k.s.5.u.c.o.m双曲线07高考第1题. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为答案：第2题. (2007海南、宁夏文)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为答案：第3题. (2007湖南理)已知双曲线的左、右
4、焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由答案：解：由条件知，设，解法一：（I）设，则则，由得即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点，使为常数当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以，于是因为是与无关的常数，所以，即此时=当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，此时故在轴上存在定点，使为常数解法二：（I）同解法一的
5、（I）有当不与轴垂直时，设直线的方程是代入有则是上述方程的两个实根，所以 由得 当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，当不与轴垂直时，由（I）有，以上同解法一的（II）第4题. (2007湖南文)已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是（I）证明为常数；（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程答案：解：由条件知，设，（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，此时当不与轴垂直时，设直线的方程是代入，有则是上述方程的两个实根，所以，于是综上所述，为常数（I
6、I）解法一：设，则，由得：即于是的中点坐标为当不与轴垂直时，即又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得，即将代入上式，化简得当与轴垂直时，求得，也满足上述方程所以点的轨迹方程是解法二：同解法一得当不与轴垂直时，由（I） 有由得当时，由得，将其代入有整理得当时，点的坐标为，满足上述方程当与轴垂直时，求得，也满足上述方程故点的轨迹方程是第5题. (2007江苏)在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（）答案：第6题. (2007江西理)设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线交双曲线
7、的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点答案：解法一：（1）在中，即，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线方程为：（2）设，当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上即，因为，所以当不垂直于轴时，设的方程为由得：，由题意知：，所以，于是：因为，且在双曲线右支上，所以由知，解法二：（1）同解法一（2）设，的中点为当时，因为，所以；当时，又所以；由得，由第二定义得所以于是由得因为，所以，又，解得：由知第7题. (2007江西文)设动点到两定点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点问：是否存在，使是以点为
8、直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由答案：解：（1）在中，（小于的常数）故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线方程为（2）方法一：在中，设，假设为等腰直角三角形，则由与得，则由得，故存在满足题设条件方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得所以，则由，可设，则，则由得根据双曲线定义可得，平方得：由消去可解得，故存在满足题设条件第8题. （全国卷I理）已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（）ABCD答案：A第9题. (2007全国I文)已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（）答案：A第10题. (2007全国II理)设分别是双曲线的左、右焦点若双曲线
9、上存在点，使且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD答案：B第11题. (2007全国II文)设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上，且，则（ ）ABCD答案：B第12题. (2007陕西理)已知双曲线（，），以的右焦点为圆心且与的渐近线相切的圆的半径是（ ）ABCD答案：D第13题. (2007浙江理)已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（）答案：B第14题. (2007浙江文)已知双曲线的左、右焦点分别为，是准线上一点，且，则双曲线的离心率是（）答案：B第15题. (2007湖北理)双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，
10、则等于（ ）ABCD答案：A第16题. (2007安徽理)如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）ABCD 答案：D第17题. (2007天津理)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）答案：D第18题. (2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）ABCD答案：A第19题. (2007福建文)以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（）答案：B第20题. (2007广东文)在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过
11、点，则该抛物线的方程是答案：第21题. (2007辽宁文)双曲线的焦点坐标为（ ）A，B，C，D，答案：C第22题. (2007山东理)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 答案：第23题. (2007上海文)以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 答案：第24题. (2007四川理)如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点到轴的距离是（ ）ABCD答案：A第25题. (2007四川文)如果双曲线上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（）（A）（B）（C）（D）答案：A第26题. (2007天津文)设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（）答案：D用心 爱心 专心
