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1、高二数学第二章 第23节 椭圆与双曲线（理） 人教实验B版选修21高二数学第二章 第23节 椭圆与双曲线（理） 人教实验B版选修21【本讲教育信息】一、教学内容：选修21 椭圆与双曲线二、教学目标：1、掌握椭圆，双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求其方程，注重二者定义的区别，掌握其几何性质。2、能根据方程讨论双曲线的性质，掌握椭圆，双曲线的区别与联系三、知识要点分析：椭圆与双曲线的标准方程的对比名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即当22时，轨迹是椭圆，当22时，轨迹是一条线段当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小
2、于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当22时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：常数的关系，最大，可以，最大，可以渐近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：【典型例题】例1、若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ）. A. B. C. D. 分析：椭圆和双曲线有共同的焦点，既在椭圆上又在双曲线上，可根据定义得到和 的关系式，再变形可得结果. 解：因为在椭圆上，所以. 又在双曲线上，所以. 两式平方相减，得，故. 选A. 说明：（1）本题的方法是根据定
3、义找与的关系. （2）注意方程的形式，、是，、是. 例2、已知B、C是两个定点，且的周长等于16，求顶点A的轨迹方程. 分析：由的周长等于16，可知，点A到B、C两点的距离的和是常数. 因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，可适当建立直角坐标系求出方程. 解：如图，建立直角坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合. 由已知，有即点A的轨迹是椭圆，且 ，. ，. 但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是. 点评：（1）求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件. （2）在
4、求解时，如果题设条件中未给出坐标系时，要建立适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为坐标原点，使其具有对称性，使曲线方程尽可能地简单。例3、已知椭圆及直线yxm。（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。解：解方程组消去y，整理得（2）由韦达定理得弦长L ，当m0时，L取得最大值为，此时直线方程为yx。点评：设椭圆与直线的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的斜率为k，则弦长或。例4、已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的
5、值。分析：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力. （）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，由得（判别式），点在圆上， ，.例5、过点（1，0）的直线l与中心在原点、焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强。知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题。
6、错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误 恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键。技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式。解：由e=，得，从而a2=2b2，c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上.则x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12x22）+2（y12y22）=0，设AB中点为（x0，y0），则kAB=，又（x0，y0）在直线y=x上，y0=x0，于是=1，kAB=1，设直线l的方程为y=x+1. 右焦点（b，0）关于l的
7、对称点设为（x，y），由点（1，1b）在椭圆上，得1+2（1b）2=2b2，b2=. 所求椭圆C的方程为 =1，直线l的方程为y=x+1. 本讲涉及的数学思想、方法 1、在学习了椭圆的定义、标准方程以及几何性质的基础上，可以类比着学习和记忆双曲线的定义、标准方程、几何性质，这样既体会了知识之间的区别，又使得在知识交汇处的问题得以解决。2、对于椭圆与双曲线的标准方程的求法，一般运用待定系数法，先确定标准形式，再建立等量关系求a、b。预习导学案（抛物线）一、预习前知1、抛物线的定义是什么？2、抛物线的标准方程有几种？二、预习导学探究反思探究反思的任务：抛物线的定义，抛物线的标准方程与性质1、抛物线
8、的定义：_的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物线的_，定直线l叫做抛物线的_。2、抛物线的标准方程、图像及几何性质：焦点在轴上，开口向右焦点在轴上，开口向左焦点在轴上，开口向上焦点在轴上，开口向下标准方程图形顶点对称轴焦点离心率准线通径焦准距【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1、方程的两个根可分别作为（ ）A. 一椭圆和一双曲线的离心率B. 两抛物线的离心率C. 一椭圆和一抛物线的离心率D. 两椭圆的离心率2、椭圆的焦距是它的两条准线间距离的，则它的离心率为（ ）A. B. C. D. 3、若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A. B. C. D. 4、抛物线的顶点在原点，焦点
9、在y轴上，抛物线上一点P（m，3）到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是（ ）A. y4 B. y4 C. y2 D. y25、是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，那么的值为（ ）A. 1 B. 1或 33 C. 33 D. 31 *6、中心在原点，焦点在坐标为（0，5）的椭圆被直线3xy20截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ）A. B. C. D. 二、填空题7、已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标为，且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_。8、已知椭圆 的一个焦点为（0，2），则的值为_。*9、已知双曲线 的左、右焦点分别为、，点在双曲线的左支上且 ，则的大小为_。三
10、、计算题10、求渐近线为 ，且与直线5x6y8=0相切的双曲线方程.11、已知圆C1的方程为（x2）2（y1）2，椭圆C2的方程为1（ab0），C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。*12、在双曲线 的一支上不同的三点与焦点的距离成等差数列。（1）试求y1y2，（2）证明线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标。【试题答案】1、提示：方程的两个根分别为2，故选A 2、提示：依题意有，故选B3、提示：椭圆的右焦点为（2，0），所以抛物线的焦点为（2，0），则，故选D4、提示：依题意，准线方程为y，且（3）5，2，故
11、选C。5、分析：利用双曲线的定义求解. 解：在双曲线中，故. 由是双曲线上一点，得. 或. 又，得. 故选C说明：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或. 6、提示：由题意，可设椭圆方程为：1，且a250b2，即方程为1。将直线3xy20代入，整理成关于x的二次方程. 由x1x21可求得b225，a275。故选C7、 解：双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标为，则焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是。8、5 解：方程变形为 . 因为焦点在y轴上，所以 ，解得 . 又c=2，所以 ， ，满足条件，故 . 9、90 解：点P在双曲线的左支上10、解：方法一：设双
12、曲线（t0）和直线相切，联立方程组消去x，得，则有：，解得t=1，故所求双曲线方程为方法二：由渐近线方程x2y=0，故可设双曲线方程为x24y2=（0），它和直线5x6y8=0相切于点P（x1，y1），切线方程为x1x4y1y=，x1x4y1y=与5x6y8=0重合， 解得，代入，得=4 故所求双曲线方程为x24y2=4，即11、解：由e，可设椭圆方程为1，又设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1x24，y1y22，又1，两式相减，得0，即（x1x2）（x1x2）2（y1y2）（y1y2）0. 化简得1，故直线AB的方程为yx3，把yx3代入椭圆方程得3x212x182b20。有24b2720，又|AB|，得，解得b28。故所求椭圆C2的方程为1。12、解（1）双曲线设A、B、C三点到l的距离分别为d1，d2，d3.在双曲线的同一支上. 又|AF|=ed，|BF|=ed2 |CF|=ed3由题意得（2）由（1）可设AC中点为由题意得两式相减得 线段AC的垂直平分线l的方程为即9 / 9
