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1、学 海 无 涯 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。,1已知集合 A x | x2 3x 4 0, B 4,1,3,5 则 A,B ,A4,1 C3, 5,B1,5 D1,3,2若
2、z 1 2i i3 ，则|z | = A0,B1,2,CD2,3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的 高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的 高与底面正方形的边长的比值为,A,5 1,BCD,5 15 15 1,1,4242 4设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概 率为,学 海 无 涯,A 1,5,B 2,5,C 1,D 4,25,5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实
3、验，由实验数据(xi , yi )(i 1, 2, 20) 得到下面的 散点图：,由此散点图，在 10至 40之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是,A y a bx,B y a bx2,C y a bex,D y a b ln x,6已知圆 x2 y2 6x 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A1B2 C3D4,6,7设函数 f (x) cos(x ) 在，的图像大致如下图，则 f（x）的最小正周期为,A 10 9 C 4 3,B 7 6 D 3 2,2,学 海 无 涯 8设alog 4 2 ，则4a 3,A 1 16,B
4、1 9,C 1 8,D 1 6,9执行下面的程序框图，则输出的 n=,A17B19C21D23 10设an 是等比数列，且a1 a2 a3 1 ， a2 a3 +a4 2 ，则a6 a7 a8 A12B24C30D32,12,11设 F , F,2,2,3,y,P,是双曲线C : x 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点在C 上且| OP | 2 ，,则PF1F2 的面积为,A 7 2,B3,C 5 2,3,D2,12已知 A, B,C 为球O 的球面上的三个点， O1 为ABC 的外接圆，若 O1 的面积为4 ，,D 32,AB BC AC OO1 ，则球O 的表面积为 A 64B 48C 3
5、6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。,2x y 2 0, y 1 0,13若 x，y 满足约束条件x y 1 0, 则 z=x+7y 的最大值为 .,14设向量a (1, 1),b (m 1, 2m 4) ，若a b ，则m .,学 海 无 涯 15曲线 y ln x x 1的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 . 16数列a 满足a (1)n a 3n 1，前 16 项和为 540，则a . nn2n1 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求
6、作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D 四个等 级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可 承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决 定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产 品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表,乙分厂产品等级的频数分布表,分别估计甲、乙两分厂加工
7、出来的一件产品为A 级品的概率； 分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂 家应选哪个分厂承接加工业务? 18（12 分） ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150. 若 a= 3 c，b= 2 7 ，求ABC 的面积； 若 sinA+ 3 sinC= 2 ，求 C. 2 19（12 分） 如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，APC=90,4,学 海 无 涯,证明：平面 PAB平面 PAC； 设 DO= 2 ，圆锥的侧面积为 3 ，求三棱锥 PABC 的体积. 20（
8、12 分） 已知函数 f (x) ex a(x 2) . 当a 1时，讨论 f (x) 的单调性； 若 f (x) 有两个零点，求a 的取值范围. 21（12 分）,2,2,x,a,已知 A、B 分别为椭圆 E： 2 y, 1（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AG GB 8 ，,5,P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D 求 E 的方程； 证明：直线 CD 过定点. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）,1,xOyC,
9、k,x cosk t,在直角坐标系中，曲线的参数方程为, y sin t,(t 为参数) 以坐标原点为极点，,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为4 cos 16 sin 3 0 当k 1时， C1 是什么曲线？ 当k 4 时，求C1 与C2 的公共点的直角坐标 23选修 45：不等式选讲（10 分）,学 海 无 涯 已知函数 f (x) | 3x 1| 2 | x 1| 画出 y f (x) 的图像； 求不等式 f (x) f (x 1) 的解集,6,学 海 无 涯 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案 一、选择题,1D,2
10、C,3C,4A,5D,6B,7C,8B,9C,10D,11B,12A,非选择题答案 二、填空题,131,145,15y=2x,167,三、解答题 17解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为 40 0.4 ； 100 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为 28 0.28 . 100 （2）由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为,因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 65 40 25 20 5 20 75 20 15 .,100 由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为,因此乙分
11、厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 70 28 30 17 0 34 70 21 10 .,100 比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.,18解：（1）由题设及余弦定理得28 3c2 c2 2,7,3c2 cos150 ，,学 海 无 涯 解得c 2 （舍去）， c 2 ，从而a 2 3 . ABC 的面积为 1 2 3 2sin150 3 2 （2）在ABC 中， A 180 B C 30 C ，所以 sin A 3 sin C sin(30 C) 3 sin C sin(30 C) ，,2 2,故sin(30 C) ,.,而0 C 30 ，所以30 C 45
12、，故C 15 . 19解：（1）由题设可知，PA=PB= PC 由于ABC 是正三角形，故可得PACPAB PACPBC 又APC =90，故APB=90，BPC=90 从而 PBPA，PBPC，故 PB平面 PAC，所以平面 PAB平面 PAC （2）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l,由题设可得 rl=,3 ， l2 r2 2 ,解得 r=1，l= 3 ，,从而 AB 3 由（1）可得 PA2 PB2 AB2 ，故 PA PB PC 所以三棱锥 P-ABC 的体积为 1 1 PA PB PC 1 1 ( 6 )3 3 23 22,6 2 6 8,20解：（1）当a=1时，f（x）=exx
13、2，则 f（ x）=ex1 当x0时， f（ x）0 所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增,8,学 海 无 涯 （2） f（ x）=exa 当a0时， f（ x）0，所以f（x）在（，+）单调递增， 故f（x）至多存在1个零点，不合题意 当a0时，由 f（ x）=0可得x=lna 当x（，lna）时， f（ x）0所以f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+） 单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=a（1+lna）,e,（i）若0a 1 ，则f（lna）0，f（x）在（，+）至多存在1个零点，不合题意,（ii）若a 1 ，则f（lna）0,
14、e 由于f（2）=e20，所以f（x）在（，lna）存在唯一零点,由（1）知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln（2a）时，,xx,x,f (x) e2 e2 a(x 2) eln(2a) ( 2) a(x 2) 2a 0 2 故f（x）在（lna，+）存在唯一零点，从而f（x）在（，+）有两个零点,综上，a的取值范围是（,1 e,，+）,2,9,21解：（1）由题设得 A(a, 0), B(a, 0),G(0,1) 则 AG (a,1) ， GB (a, 1) 由 AG GB 8 得 a2 1 8 ，即a 3 x2 ,所以 E 的方程为y 1 ,（2）设C(x1, y1), D(x2
15、 , y2 ), P(6,t) 若t 0 ，设直线CD 的方程为 x my n ，由题意可知3 n 3,11,99,由于直线 PA 的方程为 y t (x 3)，所以 y t (x 3) ,22,33,直线 PB 的方程为 y t (x 3) ，所以 y t (x 3) ,可得3y1(x2 3) y2 (x1 3) ,由于,2,2,2 9,x2, y 1,2,9,2,9,(x2 3)(x2 3),，故 y ,，可得27y1 y2 (x1 3)(x2 3) ，,1 2,12,即(27 m2 ) y y, m(n 3)( y y ) (n 3)2 0 ,x my n,2,9,将代入y,学 海 无
16、涯 x2 ,2,2,2, 1 得(m 9) y 2mny n 9 0 ,2mnn2 9 所以 y1 y2 m2 9 , y1 y2 m2 9 代入式得(27 m2 )(n2 9) 2m(n 3)mn (n 3)2 (m2 9) 0 ,2,解得n 3（舍去）， n 3 ,故直线CD 的方程为 x my 3 ，即直线CD 过定点( 3 , 0) 22,y 0,3,2,若t 0 ，则直线CD 的方程为，过点( , 0) ,3,综上，直线CD 过定点( 2 , 0) ,x cos t,22解：当 k=1 时， C1 : , y sin t,1,消去参数 t 得 x2 y2 1，故曲线C 是圆心为坐标原点，,半径为 1 的圆,1,4,C :,x cos4 t,（2）当 k=4 时，, y sin t,1,消去参数 t 得C 的直角坐标方程为 x y 1 ,C2 的直角坐标方程为4x 1
