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1、(向量代数与空间解析几何),第七章 空间解析几何与向量代数,空间解析几何是学习多元微积分的重要基础，向量,代数能使物理学、数学等领域内的许多问题的解简捷,而直观.向量代数与解析几何的关系十分密切,一方面,需要用解析几何的坐标法来进行向量的运算,另一方面,向量代数又使解析几何有关问题的解法简明.,平面解析几何是用代数的方法研究平面上几何曲线,的一门学科.,曲面和曲线及方程之间的联系.,空间解析几何是用坐标方法研究空间曲面与曲线的,一门学科.它通过空间坐标系为桥梁,建立了空间上,的点,向量与坐标之间的对应关系,进一步建立了空间,第一节 向量及其线性运算,一. 向量的概念,在数学上,我们用有向线段来
2、表示向量,有向线段的长度表示,向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.例如以M1 为,它的方向可以为任意.,自由向量,即只研究它的大小和方向, 而不考虑它的始点,位置的向量.在这里凡是大小相等方向相同的向量认为,是相等的,即向量a经过平移和b完全重合.向量a和向量b相等.,记作a=b,向量的大小叫做向量的模,向量a的模,记为|a|.,模等于1的向量叫做单位向量.,模为零的向量叫做零向量,记为0,零向量的起点和终点重合,量共线.,两个非零向量如果它们的方向相同或相反,称为平行向量,记为ab.由于零向量的方向认为是任意的,因此零向量与,任何向量都平行. 当平行向量的起点放在同一点时,它们的,终点
3、和公共起点在同一直线上,因此.两向量平行又称两向,二 向 量 的 线 性 运 算,法则),向量的加,减法和数乘向量的运算叫做向量的线性运算.,1,向量的加法,规定:两个向量的加法运算, 以两向量为平行四边形的边,对角线为它们的和.(称为平行四边形法).,把两向量的始点和终点相连接,它们的和是以一个向量,的始点为始点,另一个向量的终点为终点的向量.(三角形,为终点的向量即是所求的和向量.,向量加法的平行四边形法则与,三角形法则是一致的,这从上面,可明白地看出.但多个向量相加,时,用三角形法则明显要方便些. 因为相加的向量只要依次,首尾相连.第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点,和结合律:
4、 (a+b)+c=a+(b+c).,由图可知它们满足交换律a+b=b+a,向量a 上去,2向量的减法,设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量,记作-a,由此,我们规定两个向量a与b的差: a-b=a+(-b).特别是,a-a=a+(-a)=0由三角形法则可知道,要从a减去b,只要把-b加到,(2)分配律 (+)a=a+a (a+b)=a+b,3,数乘向量,设是一个数,向量a与的乘积a规定为模是| a|=,|a|的向量.当0时, a的方向与a相同,反之则相反.当,=0时, a是零向量. 数乘向量符合下列运算规则:,(1)结合律 (a)=(a)=()a,根据数乘向量的规定,可以得
5、到如下的结论:,是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则有为a=b.,两个向量如果在同一条直线上,或在平行直线上,就称这两,个向量共线或平行.,(1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=b,其中,零向量,ab（表示同向或反向）,证明: 如果a=b,依定义(自由向量,即只研究它的大小和,方向,而不考虑它的始点位置的向量.在这里凡是大小相等,方向相同的向量认为是相等的即向量a经过平移和b完全重合,.向量a和向量b相等.记作a=b )a与b同方向或反向,即a和b平行,如果=0则a为零向量,零向量与任何向量平行.所以向量a,和b平行. 反之,设a和b平行,如果a=b=0,则必有a=b成立.,
6、如果a和b中有一个为零向量.设a=0,有a=0b=0.设a,b都不为,方向相同时为正号,相反时为负号.所以有a=b。,又,(2)设a0表示与非零向量a同向的单位向量,那么a=|a|a0,且 a0 和a同向,故a0是a的单位向量,于是a=|a|a0,因为a0,所以|a| 0,又,例1 在u轴上取定一点o作为坐标原点,设A,B是u轴,上坐标依次为u1, u2的两个点,e是与u轴同方向的单位向量,AB=OB-OA= u2e- u1e=(u2-u1)e,证明:点A的坐标为u1,即OA的值OA=u1,OA=u1e,OB=u2e,解: 由于平行四边形的对角线互相平分所以,例2 设M是平行四边形ABCD的对
7、角线交点,且,试用a和b表示向量,例3:试证明三角形两边中点的连线平行且等于第三边的一半.,如果两个向量能表示为a=b,则它们平行. 所以DEBC,(1) 两个非零向量a和b平行的充分必要条件是a=b,其中,是常数.反之如果两个非零向量a和b平行,则必为a=b.,上面的结论(1)是建立数轴的理论根据, 我们知道,给定一个点,一个方向及单位长度,就确定了一条数轴.由于一个单位,向量既确定了方向,又确定了单位长度, 因此,给定一个点及一,个单位向量就确定了一个数轴. 设点O及单位向量i确定了数轴,Ox, 对于轴上任一点P,对应一个向量OP, 由于OPi,根据结论,(1), 必有唯一的实数x,使OP
8、=xi,并知道OP与实数x一一对应.,如果轴上有两点A,B,它们的坐标分别为x1和x2,则向量AB=(x2-x1)i,必要条件是OP=xi,为轴上点P的坐标.由此可见,轴上点P的坐标为x的充分,从而轴上的点P与实数x有一一对应的关系,因此定义实数x,实数x,于是点P,向量OP=xi,三,空间直角坐标系,一.空间直角坐标系,轴的方向时,拇指就指向z轴的正方向.,右手法则排列,即右手握住z轴,四个手指从x轴的方向转到y,得不一样) 三个坐标轴的次序和方向按习惯用法,规定为按,(3)在三个坐标轴上选定长度单位(三个轴上的长度单位可取,(2)在o点处作三条两两互相垂直的轴ox,oy,oz称为坐标轴;,
9、(1)在空间里任选一点o为坐标原点;,空间直角坐标系的建立需要具备三个条件:,按逆时针分成5，6，7，8卦限,下两部分,上面的四个卦限按逆时针分成两个可以确定一,个平面,称为坐标面三个坐标面把空间分成八个部分,每一,个部分叫做一个卦限.xoy平面把它们分成上下两部分,上面,的四个卦限按逆时针分成1，2，3，4卦限；下面的四个卦限,个坐标轴的分向量,原点为o(0,0,0).,过空间的一点M分别作x轴y轴z轴的垂直平面,它们和三个,坐标轴的交点为x,y,z.则空间点M和有序数组x,y, z一一对应,x,y,z为点M的坐标,记作M(x,y,z),op=xi,oQ=yj,oR=zk,r=OM,=xi+
10、yj+zk,称为向量r的坐标分解式, xi,yj,zk称为向量r沿三,特殊点的坐标.,z轴上的点的坐标为(0,0,z),y轴上的点的坐标为(0,y,0),x轴上的点它和y,z轴相交都是原点,于是它的坐标为(x,0,0),(2)坐标轴上的点.,zox面上的点的坐标为(x,0,z),yoz面上的点的坐标为(0,y,z),其竖坐标为0,即z=0.它的坐标为(x,y,0).,xoy面上的点因它与oz轴相交于坐标原点,(1)坐标面上的点.,四. 利用坐标作向量的线性运算,利用向量加法的交换律与结合律,向量的数乘结合律与,利用向量的坐标,可得向量的加法,减法以及向量与数的乘法,运算如下:设 a=(ax,a
11、y,az), b=(bx,by,bz) 即,a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk,分配律,有,由此可见,对向量进行加,减及数乘,只需要对向量的各个坐,相当于向量b与a对应的坐标成比例,(bx,by,bz)=(ax,ay,az),当于b=a,坐标式为,标分别进行相应的数量运算即可.当向量a0时,向量ba相,解:,例5 求解以向量为未知元的线性方程组,其中a=(2,1,2),b=(-1,1,-2),解:,在直线AB上求点M,使,1.向量的模与两点间的距离公式,设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间的两个点.现在用坐标,五. 向量的模,方向角,影,平面,这6个
12、平面形成一个长方体.,表示它们之间的距离d. 过M1,M2分别作三个垂直,特殊地,点M(x,y,z)和坐标原点o的距离为,例 7 在z轴上求和点A(1,-4,2)和点B(5,3,-7)等距离的点.,所求的点为M(0,0,-31/9),分析:设点M(0,0,z)在z轴上.依题意得到,例8 求证以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的,解:,三角形是一个等腰三角形.,为等腰三角形.,故,2.方向角与方向余弦,类似地,可规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.,是零向量,规定它们的夹角可在0与之间取任意值.,b的夹角,记作 (a,b)或(b,a)即(a,b)=,如果向量
13、a与b中有一个,不超过的AOB(设= AOB,0 )称为向量a和,设有两个非零向量a,b,任取空间一点O,作OA=a,OB=b,规定,非零向量r与三条坐标轴的夹角,称为向量r的方向角.,设r=(x, y,z),由于x是有向线段OP的值,MPOP,故,cos,cos,cos称为向量r的方向余弦,上式表明,以向量,解:,方向余弦和方位角.,由此得到,r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e,并,3 向量在轴上的投影,(1)点在轴上的投影,(2)向量在轴上的投影,那么,平面与轴u的交点A 就叫做点A在轴u上的投影.,设已知空间一点A及一轴u,过点A作轴u的垂直平面,(2)向量在轴上的投影,
14、(和u同向取正号,异向取负号)记作PrjuAB=A1B1,反之则负.,其正负号由向量AB的方向决定:向量AB与u同向取正号.,值是一个正或负的实数,其绝对值等于向量AB的长度,轴u叫做投影轴.,叫做向量AB在轴u上的投影,和点B1那么,轴上的有向线段A1B1 的值A1B1=| A1B1|,设已知向量AB,始点A和终点B在轴u上的投影分别为点A1,3. 投影定理,即 A1B1=AB2, 有 PrjuAB = PrjuAB=|AB|cos,夹角, 夹在两平行平面之间的线段相等,AB的夹角等于轴u和向量AB的,轴u正向一致的轴u.那么,轴u和向量,证明: 过向量AB的起点A引一条与,余弦: Prju
15、AB=|AB|cos,向量的模乘以轴与向量夹角的,定理1 向量AB在轴u上的投影等于,AB和轴u成锐角时投影为正反之为负,和即 Prju (a1+a2)=Prju a1+Prju a2,证明:,投影定理2 两个向量和在轴上投影等于两向量在该轴上之,定理2(1) 有限个向量的和在轴上的投影,等于各个向量在该轴,定理3 向量与数的乘积在轴上的投影等于向量在轴上,的投影与数的乘积,即: Prju(a)=Prjua,推广 :Prju(k1a1+k2a2+.+kn an)=k1 Prjua1+k2 Prjua2+.+knPrjuan,上投影的和 即 ： Prju(a1+a2+.+an)=Prjua1+ Prjua2+.+ Prjuan,证明:设a与u轴的夹角为,a与u轴的夹角为1,=0时, Prju(a)=0=Prjua,Prju(a)=| a|(-cos)=-|a|(-cos)=Prjua,0时,Prju(a)=|a|cos=|a|cos=Prjua,所以0时,当0时,1=-(此时a与a反向),当0时,1=,
