《2020版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案含解析理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案含解析理（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 - 第一节数列的概念与简单表示法 考纲传真 1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、 图象、 通项公式 ).2.了解 数列是自变量为正整数的一类特殊函数 1数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2数列的分类 分类标准类型满足条件 项数 有穷数列项数有限 无穷数列项数无限 单调性 递增数列an1an 其中nN * 递减数列an1an 常数列an1an 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前 一项的数列 3. 数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法 4数列的通项公式 如果数列 an
2、的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式 5数列的递推公式 如果已知数列的第1 项( 或前几项 ) ，且从第二项(或某一项 ) 开始的任一项an与它的前一 项an 1( 或前几项 ) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公 式 6an与Sn的关系 若数列 an 的前n项和为Sn，通项公式为an， - 2 - 则an S1n， SnSn 1n 常用结论 1数列 an是递增数列 ?an1an恒成立 2数列 an是递减数列 ?an1an恒成立 基础自测 1( 思考辨析 ) 判断下列结论的正误( 正确的打“”，错误的打“”) (1)
3、 所有数列的第n项都能使用公式表达( ) (2) 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个( ) (3) 如果数列 an 的前n项和为Sn，则对 ?nN *，都有 an1Sn1Sn.( ) (4) 若已知数列 an的递推公式为an1 1 2an 1，且 a21，则可以写出数列an 的任何一 项( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2( 教材改编 ) 数列 1， 1 2， 1 3， 1 4， 1 5，的一个通项公式为 ( ) Aan 1 n Ban( 1) n1 n Can( 1) n11 n Dan 1 n B 由a1 1，代入检验可知选B. 3设数列 an 的前n项和Snn
4、2，则 a8的值为 ( ) A15 B16 C49 D64 A 当n8 时，a8S8S78 27215. 4把3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个 正三角形 ( 如图所示 ) 则第 6 个三角形数是( ) A27 B28 C29 D30 B 由题图可知，第6 个三角形数是123456728. 5( 教材改编 ) 在数列 an中，a1 1，an1 n an1 (n2)，则a5( ) - 3 - A. 3 2 B. 5 3 C. 8 5 D. 2 3 Da21 1 a12，a 31 1 a2 1 1 2 1 2，a 41 1 a3123，a 51 1 a
5、4 1 1 3 2 3. 由数列的前几项归纳数列的通项公式 1数列 0， 2 3， 4 5， 6 7，的一个通项公式为 ( ) Aann1 n1( nN * ) Ban n1 2n1( nN *) Can n 2n 1 (n N *) Dan 2n 2n1( nN *) C 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可 2数列 an的前 4 项是 3 2，1， 7 10， 9 17，则这个数列的一个通项公式是 an_. 2n1 n 2 1 数列 an的前 4 项可变形为 21 1 1 21， 22 1 2 21， 23 1 3 21， 24 1 4 21， 故an 2n 1 n 21.
6、3写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，； (2) 1 2， 3 4， 7 8， 15 16， 31 32，； (3)3,33,333,3 333，； (4) 1,1 ， 2,2 ，3,3 . 解(1) 各项减去 1 后为正偶数，所以an2n1. (2) 数列中各项的符号可通过( 1) n1 表示每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组 成数列 2 1, 2 2, 2 3, 2 4， 所以an( 1) n12 n1 2 n. (3) 将数列各项改写为 9 3， 99 3 ， 999 3 ， 9 999 3 ，分母都是3，而分子分别是101,10 2 1,10 3 1,1041，
7、- 4 - 所以an1 3(10 n1) (4) 数列的奇数项为1， 2， 3，可用 n1 2 表示， 数列的偶数项为1,2,3 ，可用 n 2表示 因此an n1 2 n为奇数， n 2 n为偶数 规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 常用方法：观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊 数列、联想联想常见的数列等方法 . 具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征； 各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破， 或寻找分子、 分母之间的关系； 对于符号交替出现的情况，可用 k 或 k1， kN * 处理 . 由
8、an与Sn的关系求通项公式 【例1】(1) 若数列 an 的前n项和Sn3n 2 2n1，则数列 an 的通项公式an _. (2) 若数列 an 的前n项和Sn 2 3a n 1 3，则 an 的通项公式an_. ( 1) 2，n1， 6n5，n2 (2) ( 2) n1 (1) 当n1 时，a1S131 221 12； 当n2时， anSnSn13n 22n 13(n1) 22( n1) 1 6n5，显然当n1 时，不满足上 式 故数列的通项公式为an 2，n1， 6n5，n2. (2) 由Sn 2 3a n 1 3，得当 n2 时，Sn12 3a n11 3， 两式相减，得an 2 3a
9、 n 2 3a n1， 当n2时，an 2an1，即 an an1 2. - 5 - 又n 1时，S1a12 3a 1 1 3， a11， an ( 2) n1. 规律方法 1. 已知Sn求an的三个步骤 先利用a1S1求出a1； 用n 1 替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1n便可求出当 n2 时an的表达式； 注意检验n1 时的表达式是否可以与n2 的表达式合并 . 2.Sn与an关系问题的求解思路, 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转 化. 利用anSnSn1n转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解； 利用SnSn1ann转化为只含an，an1的关系式，再求解
10、. (1) 已知数列 an 的前n项和Sn3 n1，则数列的通项公式 an_. (2) 在数列 an 中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an_. ( 1) 4，n1， 23 n 1，n2 (2) 2 n1 (1) 当n 1 时，a1S13 14， 当n2时，anSnSn13 n 13 n1123n1. 显然当n1 时，不满足上式 an 4，n 1， 23 n1，n2. (2) 依题意得Sn12an11，Sn2an 1，两式相减得Sn 1Sn2an12an，即an 12an， 又S12a11a1，因此a1 1，所以数列 an 是以a1 1 为首项、 2 为公比的等比数列， a
11、n 2 n1. 由数列的递推关系求通项公式 ?考法 1 形如an1anf(n) ，求an 【例 2】在数列 an中，a12，an1an3n2(nN *) ，求数列 an的通项公式 解(1) an1an 3n2， anan13n1(n2)， an (anan 1) (an 1an 2) (a2a1) a1 nn 2 (n2) 当n 1时，a11 2(31 1) 2 符合公式， an 3 2n 2n 2. - 6 - ?考法 2 形如an1anf(n) ，求an 【例 3】已知数列 an满足a11，an12 na n，求数列 an 的通项公式 解an12 na n， an1 an 2 n， an
12、an12 n1( n2)， an an an1 an1 an2 a2 a1 a1 2 n12n2 21 212 3 (n1) 2 nn 1 2 . 又a11 适合上式，故an2 nn1 2 . ?考法 3 形如an1AanB(A0 且A1)，求an. 【例 4】已知数列 an满足a11，an13an2，求数列 an的通项公式 解an13an2， an113(an1) ， 又a11，a112， 故数列 an1 是首项为 2，公比为3 的等比数列， an 123 n1，因此 an23 n11. 规律方法 由递推关系式求通项公式的常用方法,已知a1且anan1fn， 可 用“累加法”求an，即ana
13、nan1an1an2a3a2a2a1a1. 已知a1且，可用 “累 乘法” 求an，即an 2) . 已知a1且an1qanb，则an1kqank其中k可由待定系数法确定， 可转化为等比数列ank. 形如A，B，C为常数的数列， 可通过两边同时取倒数的方法构 造新数列求解. 根据下列条件，求数列an的通项公式 (1)a 11，an1an2 n； (2)a11 2， an n 1 n 1 an1(n2)； (3)a11，an12an3； (4)a11，an1 2an an2. - 7 - 解(1) 由题意知an1an2 n， an(anan1) (an1an2) (a2a1) a1 2 n12n
14、2 2112 n 12 2 n 1. (2) 因为an n1 n1a n1(n2)， 所以当n2 时， an an1 n 1 n 1， 所以 an an1 n1 n1， an1 an2 n2 n ， a3 a2 2 4， a2 a1 1 3， 以上n1 个式子相乘得 an an1 an1 an2 a3 a2 a2 a1 n1 n1 n2 n 2 4 1 3， 即 an a1 1 n1 1 n21，所以 an 1 nn . 当n 1时，a1 1 12 1 2，与已知 a1 1 2相符， 所以数列 an 的通项公式为an 1 nn . (3) 由an12an3 得an132(an3) 又a11，a
15、134. 故数列 an3 是首项为 4，公比为2 的等比数列， an 342 n12n1， an2 n13. (4) 因为an1 2an an 2， a11，所以an0， 所以 1 an1 1 an 1 2 ，即 1 an1 1 an 1 2. 又a11，则 1 a11，所以 1 an 是以 1 为首项， 1 2为公差的等差数列 所以 1 an 1 a1 ( n1) 1 2 n 2 1 2. 所以 an 2 n1( nN * ). 1(2014全国卷 ) 数列an 满足an1 1 1an， a82，则a1_. 1 2 an1 1 1an， - 8 - an1 1 1an 1 1 1 1an1
16、1an 1 1an11 1an1 an1 1 1 an1 1 1 1 1an2 1 (1 an2) an2， 周期T(n1)(n2)3. a8a32 2a22. 而a2 1 1a1 ，a1 1 2. 2(2015全国卷 ) 设Sn是数列 an 的前n项和，且a1 1，an1SnSn1，则Sn _. 1 n an1Sn1Sn，an1SnSn1， Sn1SnSnSn1. Sn0， 1 Sn 1 Sn11，即 1 Sn 1 1 Sn 1. 又 1 S1 1， 1 Sn 是首项为 1，公差为 1 的等差数列 1 Sn 1( n1)( 1) n，Sn 1 n. 3(2016全国卷 ) 已知各项都为正数的
