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1、- 1 - 湖南省湘潭市2018-2019 年度第一学期期末高二文科数学试卷 一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分） 1. 命题“若，则”的逆命题为 A. 若，则B. 若，则 C. 若，则D. 若，则 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据命题“若，则”的逆命题为“若，则”，写出即可 【详解】命题“若，则”， 它的逆命题为“若，则”，故选D 【点睛】本题主要考查逆命题的基本定义，意在考查对基本概念的掌握情况，是基础题 2. 设函数，若，则的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】 B 【解析】 【分析】 先对函数求导，利用列方程求解即可 【详解】函数， ， ， ， 即，
2、故选 B 【点睛】本题主要考查了导数的运算法则，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题 3. 抛物线 y 2=4x 的焦点坐标是 A. （ 0,2 ）B. （0,1 ）C. （2,0 ）D. （ 1,0 ） 【答案】 D 【解析】 试题分析：的焦点坐标为，故选 D. 【考点】抛物线的性质 - 2 - 【名师点睛】本题考查抛物线的定义解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解 析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定 要熟记掌握 4. 在等差数列中，已知，则 A. 9 B. 8 C. 81 D. 63 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据等差数列
3、的下标性质，可得，从而可得结果 【详解】由等差数列的性质得， ， ， 得，故选 A 【点睛】 本题主要考查等差数列性质的应用，属于简单题 . 等差数列中，若 则 5. 已知分别为内角的对边，若，则 A. 5 B. 11 C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 由，, 直接利用余弦定理可求的值 【详解】， 由余弦定理可得， 即， 解得：，故选 C 【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题对余弦定理一定要熟 记两种形式：（1）； （2），同时还要熟练掌握运用两种 - 3 - 形式的条件 . 另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角 的三角函数值，以便在
4、解题中直接应用. 6. 已知则的最小值为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】 A 【解析】 【分析】 直接利用基本不等式求解即可求得结果 【详解】， 所以， 当且仅当即时取得最小值6，故选 A 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础试题利用基本不等式求最值时， 一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正； 二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验 证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等 号能否同时成立）. 7. 已知分别为内角的对边，若，则锐角的大小
5、是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 直接根据正弦定理建立方程关系进行求解即可 【详解】， 由正弦定理得， 得， 则锐角，故选 B - 4 - 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，属于简单题正弦定理是解三角形的有力工 具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨 论钝角与锐角） ； （2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边 角互化；（4）求三角形外接圆半径. 8. 已知等比数列的公比为q，则 A. B. 2 C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用等比数列的性质满足, 代入 , 计算 ,
6、 即可 . 【详解】结合等比数列的性质可知, 解得, 故选 C. 【点睛】考查了等比数列的性质, 关键利用,代入 , 计算 , 即可 , 难度较容易 . 9. 已知，则下列结论一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用特殊值判断选项，利用不等式的性质判断 【详解】当，时，不成立，选项错误； 当，时，不成立，选项错误； 因为， ， 则，即成立，故选B 【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于中档题. 利用条件判断不等式是否成立，要从以下 几个方面着手： （1）利用不等式的性质直接判断；（ 2）利用函数式的单调性判断；（3）利用 特殊值判断 . 10. 已知直线过点
7、，椭圆，则直线与椭圆的交点个数为 A. 1 B. 1或 2 C. 2 D. 0 - 5 - 【答案】 C 【解析】 【分析】 由点在椭圆的内部，可得直线与椭圆相交 【详解】点在椭圆的内部， 而直线 过点， 直线与椭圆相交，交点个数为2，故选 C 【点睛】本题主要考查椭圆的方程与简单性质，考查直线与椭圆位置关系的判定，意在考查 灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题 11. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解集为，利用判别式小于零列不等式求解即可 【详解】不等式的解集为， ， 解得， 实数的取值范围是，故选 D
8、 【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数，意在考查对基础知识的掌握与 应用，是基础题 12. 已知函数，则满足的 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 先判断是奇函数，且在递增，根据函数的单调性和奇偶性得到关于的不等式，进而 可得结果 【详解】因为的定义域是， - 6 - ， 故是奇函数， 又， 故在递增， 若， 等价于， 故，解得，故选 D 【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用，属于中档题函数的三 个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起 考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函
9、数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以 选择题、填空题的形式呈现. 二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 在数列中，则_ 【答案】 3 【解析】 【分析】 直接利用数列的递推关系式和赋值法求出结果 【详解】在数列中， 当时，则，故答案为3. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于 基础题型 14. 已知实数x，y满足约束条件则的最小值是 _ 【答案】 -10 【解析】 【分析】 根据约束条件作出可行域，将目标函数转化为，在可行域中平移直线 ，找到使截距最小的点即为最优解，得的最小值 - 7 - 【详解】作出实数x，y 满足约束条件对应的
10、平面区域如图： 由得，平移直线， 由图象可知当直线经过点 A时，直线的截距最小，此时z 最小， 由，解得，此时， 故答案为： 【点睛】先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 15. 函数的单调递减区间是_ 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数的导数，在定义域内令求得的范围，可得函数的减区间 【详解】的定义域是， ， 令，解得：， 所以在递减，故答案为 【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查了导数的应用，属于简单题利用导数求函数单 调区间的步骤：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 令求得的范围，可得函数的减区间 . 16. 已知分别是双曲线的左右焦点，是双
11、曲线左支上任意一点，的最小 - 8 - 值为，则此双曲线的离心率的取值范围是_ 【答案】 【解析】 【分析】 由双曲线的定义知，可得，当且 仅当，即时取得等号 再由， 结合可得离心率的取 值范围 【详解】由定义知：， ， 当且仅当，即时取得等号， 此时， 因为， 所以 可得， 又双曲线的离心率， , 故答案为 【点睛】本题考查双曲线的定义、离心率与几何性质，以及基本不等式的应用，属于难题求 离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不 等式，从而求出的范围 . 三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分） 17. 已知集合，若“”是“”的充分条 件，求实数的
12、取值范围 【答案】 【解析】 【分析】 - 9 - 根据一元二次不等式的解法，求出的等价条件，结合充分条件和必要条件定义转化为， 根据包含关系列不等式进行求解即可 【详解】由得 解得，即， 若“”是“”的充分条件， 则， 即，得，即， 即实数的取值范围是 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及集合子集的应用，考查了转化思想 的应用，属于中档题转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可 以使解决问题的难度大大降低，本题将充分条件与必要条件问题转化为集合问题是解题的关 键. 18. 已知分别为锐角内角的对边， 求角； 若，的面积是，求的值 【答案】（1）； （2） 【
13、解析】 【分析】 由，根据正弦定理可得，结合，可得，从 而可得结果；先根据面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值即可 【详解】由正弦定理得， 在三角形中， ， 三角形是锐角三角形， 若，的面积是， 则， 可得， - 10 - 则， 即 【点睛】本题主要考查利用正弦定理，余弦定理解三角形以及三角形的面积公式的应用，属 于中档以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数 及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强. 解答 这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应 用. 19. 已知数列是公差为1
14、 的等差数列，其前8 项的和 求数列的通项公式； 求数列的前项和 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】 运用等差数列的求和公式，解方程可得数列的首项，从而可得到数列的通项公式； 利用（ 1）求得，运用数列的裂项相消法求和，化简可得结果 【详解】由题意可得公差， 即有，解得， 则； ， 则前n项和 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消法求和，属 于中档题裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突 破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)； （ 2） ； （3）； （4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容
15、易出现丢项或多项的问题， - 11 - 导致计算结果错误. 20. 已知函数在处有极值2 求的值； 求函数在区间上的最大值 【答案】（1）； （2） 2 【解析】 【分析】 求出, 根据极值的定义可得，解方程组可求出的值；利用（ 1）求出函 数的导数，根据导函数的符号，可得在上递减，在上递增，利用函数的单调 性可得出函数的最值 【详解】函数在处取得极值2， ，解得. 由得：， 令，解得：， 令，解得：或， 故在递减，在递增， 故的最大值是或， 而， 故函数的最大值是2 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值问题，属于中档题求函数极值与 最值的步骤： (1) 确定函数的定义域；(2)
16、求导数；(3) 解方程求出函数定义域 内的所有根；(4) 判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减）， 那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值 . （5）如果 只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点 值的函数值与极值的大小. - 12 - 21. 已知椭圆的离心率为， 是 上一点，是的两个焦点， 且 求椭圆的方程； 设直线交椭圆于两点，为坐标原点，求面积的最大值 【答案】（1）； （ 2） 【解析】 【分析】 利用椭圆的离心率与椭圆的定义，解得，可得的值，即可求出椭圆方程；设， ，将直线代入椭圆的方程整理得，通过， 以及韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积表达式，利用基本不等式求解最值即可 【详解】， ，即， ， ， ， 即椭圆方程为 设， 将代入椭圆C的方程整理得， ， ，
