《第02招函数的值域的常见求法(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第02招函数的值域的常见求法(1)（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 【知识要点】 一、函数值域的定义 函数值的集合叫做函数的值域. 二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问 题必须遵循“定义域优先”的原则. 三、常见函数的值域 1、一次函数0ykxb k的值域为R. 2、二次函数 2 0yaxbxc a，当0a时的值域为 2 4 , 4 acb a ；0a时的值域为 2 4 , 4 acb a . 3、反比例函数0 k yk x 的值域为0yR y. 4、指数函数01 x yaaa且的值域为0y y. 5、对数函数log01 a yx aa且的值域为R. 6、幂函数 3 yx的值域为R，幂函数 1 2 y
2、xx的值域为0,). 7、正弦函数sinyx、余弦函数 cosyx的值域为1,1，正切函数tanyx的值域为R. 四、求函数的值域常用的方法 求函数的值域常用的方法有直接法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等 式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等. 其中最常用的有“三数（函数、 数形结合、导数） ”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”. 五、函数的值域一定要用集合或区间来表示. 六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数 的最值和取值范围等. 【方法讲评】 2 方法一直接法 使用
3、情景函数的解析式主要是一些简单的特殊的函数组成. 解题步骤利用这些特殊函数的性质，结合不等式性质推导出函数的值域. 【例 1】求函数 3yx的值域 . 【解析】0033xxxQ故函数的值域是(,3. 【点评】（1）对于某些特殊的数的性质大家要熟悉，如算术平方根x具有双重非负性，即：被开方 数的非负性和值的非负性；|x是非负数； 2 () n xnN是一个非负数，(0,1) x aaa且是一个正数 .掌握 这些数的性质后，可以很快得到函数的值域. （2）不等式的性质在求函数的值域中经常用到，所以不等式 的性质要熟练掌握. 【反馈检测1】求函数( )342 x f x的值域 . 方法二分离常数法
4、使用情景函数是对称的分式函数 2 2 cxddxexf yy axbaxbxc 或. 解题步骤一般先利用分式的除法将分式分离成一个常数和一个分式函数，再求函数的值域. 【例 2 】求函数 1x x y的值域 . 【点评】对于对称的分式函数 2 2 cxddxexf yy axbaxbxc 或，常利用分式的除法分离成常数和一个分 式函数的和，再求函数的值域. 【反馈检测2 】求函数 2 211 212 xx yx x 的值域 . 方法三配方法 使用情景一般是二次函数或可以化成二次函数的函数. 解题步骤一般先对二次函数配方，再画图观察得到函数的值域. 【例 3】【 2017 北京，文 11】已知0
5、 x，0y，且1xy，则 22 xy的取值范围是 _ 3 【点评】（1）对于二次函数，常用配方法求函数的值域. 先配方，再利用二次函数的图像和性质求函数 的值域 . （ 2）有时函数的配方计算量比较大，所以可以不配方，直接计算抛物线的对称轴，画出抛物线的 草图， 截取定义域内的那一段观察，即可得到函数的值域.（3） 本题注意不能把函数 211 2() 22 fx（x)=的 定义域看作是 0,)，必须根据0y 求出x满足的条件，再和 0 x 求交集得到函数的定义域. 【反馈检测3】求函数 2 2yxx的值域 . 方法四反函数法 使用情景已知函数比较容易求反函数. 解题步骤 先求已知函数的反函数，
6、再求反函数的定义域，最后利用反函数的定义域就是原函数的 值域关系得到原函数的值域. 【例 4】求函数 1 2 x x y的值域 . 【解析】 1 2 x x y反解得 y y x 2 即 1( ) 2 x fx x 因为反函数 1( ) 2 x fx x 的定义域为|2x x，反函数的定义域即是原函数的值域，所以原函数 的值域为(,2)(2,)U. 【点评】（1）当函数是分子、分母只含有一次项的函数( 即有理分式一次型), 一般可以利用反函数法 求函数的值域，当然，其它一些能反解出x的函数，也可以选择反函数法求函数的值域. （2）利用反函数法 求函数的值域，利用的知识点是“反函数的定义域是原函
7、数的值域”. 【反馈检测4】求函数 34 56 x y x 值域 . 方法五换元法 4 使用情景函数的解析式结构较复杂，函数的变量较多且相互关联. 解题步骤一般先引进一个新元代替旧元，再求新函数的值域. 【例 5】求函数 1yxx 的值域 . 【点评】（1）对形如( )f xaxbcxd的函数，可以考虑换元，消掉根式，化成一个二次函数. （2）在任何地方换元，都要注意新元的取值范围，它就是新函数的定义域.(3) 本题也有简单一点的方法， 由于函数yx在定义域上增函数，函数1yx在定义域上也是增函数，所以原函数在定义域1,)上 是增函数，所以1x时，函数取最小值. 学科 网 【例 6 】已知x满
8、足不等式 11 22 loglog (2)xx. （1）求 x的取值范围； （2）求函数 22 ( )(log)(log) 42 xx fx?的最小值 . 【解析】（1）01x x0 由题得2-x0 x2-x 2222 ( )(loglog 4)(loglog 2)f xxx(2) 由题得 2 2222 (log2)(log1)(log)3log2xxxx 2 2 33 log= (0),( )32, 22 x a ag aaaa设函数的对称轴为 0a画出二次函数的图像得当时，函数取到最小值2. min ( )(0)2f xf所以 【点评】（1）当函数中某一个复杂的式子反复出现时，我们可以考虑
9、换元，使书写简单，使函数式子 形式更简单明了. 如果后面是指数 2 (2 )3 22 xx y?，也可以换元 .（2）换元时一定要注意新元的范围, 注意数学等价转化的思想. 【例 7】求函数(sin1)(cos1), 12 2 yxxx的值域 . 5 【点评】（1）由于 2 (sincos )12sincos1sin 2xxxxx，所以当已知中同时有 sincos ,sincosxxxx或者同时有sincos ,sincosxxxx时，可以考虑换元，化成一个二次函数. （2） 换元时注意利用三角函数的知识求准新元的范围. （3）本题显示出换元建立新函数转化化归的好处，本来 一个函数有两个变量，
10、不好处理，但是通过换元，变成了一个我们熟悉的一元二次函数，大大地提高了解 题效率 . 【例 8】已知),(yxp是圆4 22 yx上的点，试求xyyxt3 22 的值域 . 【解析】由题得1) 2 () 2 ( 22 yx ，设cos,sin,0, 2 ) 22 xy 则43 2cos2sin46sin 2t20,4)又，即sin 2 1,1故10,2t，所 以函数的值域为 2,10. 【点评】当已知条件可以化为 22 22 1 xy ab 时，可以设sin,cos xy ab ，0,2实行三角换元， 这样可以优化解题，提高解题效率. 【反馈检测5】若02,x求函数 1 2 ( )43 25
11、x x yf xg的值域 . 6 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第02 讲：函数的值域（最值） 的常见求法 1(直接法、分离常数法、配方法、反函数法和换元法) 参考答案 【反馈检测1 答案】3,) 【反馈检测1 详细解析】由题得 2 4202422 xx x所以函数的定义域(,2 2 222424420420 xxxx xQ，3423 x ， 即函数( )342x f x的值域为3,) 【反馈检测2 答案】 1 2, 2 【反馈检测3 答案】 3 0, 2 【反馈检测3 详细解析】由题得 22 2020 xxxx (2)(1)0 xx12x，所以函数的定义域为 1,2. 所以 22 193 2()0, 242 yxxx，所以函数的值域为 3 0, 2 . 【反馈检测4 答案】 3 | 5 y y . 7 【反馈检测4 详细解析】由原函数式可得： 3y5 y64 x则其反函数为 3x5 y64 y ，其定义域为 3 | 5 x x， 故所求函数的值域为 3 | 5 y y . 【反馈检测5 答案】 1 5 , 2 2
