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1、 学院 专业 班级 学号 姓名 密封线内不要答题 密封线内不要答题江 苏科技大学20102011学年第1学期线性代数课程试题 (A)卷题号一二三四五六七总分得分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。1. 设有行列式，则下面等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2已知四阶行列式D的第3列元素分别为，它们对应的代数余子式分别为，则行列式（） A. B. C.3 D. 5 3下列叙述中，正确的结论是( )A.一个不可逆矩阵经过适当的初等变换可以化成可逆矩阵B.一个可逆矩阵经过任何初等变换后，得到的仍然
2、是可逆矩阵C.一个可逆矩阵经过适当的初等变换可以化成不可逆矩阵D.一个不可逆矩阵有可能等价于单位矩阵 4.设矩阵和都是阶方阵，且，则必有( ) A. B.或 C. D.或5设向量组1，2，s线性相关，则必可推出（）A1，2，s中至少有一个向量为零向量B1，2，s中至少有两个向量成比例C1，2，s中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D1，2，s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6. 当下列条件（ ）成立时，向量组线性相关。 A. B. C. D. .6.设矩阵D=，则D为（） A对称矩阵； B.反对称矩阵； C.正交矩阵； D.正定矩阵.7. .若n阶行列式D=0（n,则这个行列
3、式( )A.一定有一行(列)元素全为零 B.一定有两行元素对应成比例C.所对应的矩阵的秩小于n D.所对应矩阵的秩等于n 8设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|=（）A B C7D129设A为n阶矩阵，且，是两个不同的解，则的通解为(其中为任意常数)（） A. B. C. D. 10.二次型f(x1,x2,x3,x4,)=的秩为（）A.1; B.2; C.3; D.4二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）11. 已知的代数余子式， 。12. 设矩阵，则AB=_。13. 设，则= 。14. 设矩阵，则行列式 _ 。15. 当l= 时，齐次线性方程组有非零解；16
4、. 矩阵方程的解= 。17. 方程的通解为 。18. 已知向量正交，则参数t的值等于 。19. 设三阶方阵特征值为1，1，2，则的特征值为 20. 若矩阵为正定矩阵，则的取值范围是 _ _ 。三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算行列式22设,求.23.设,求使.24设 ，求向量组的秩和一个最大无关组解： ,向量组的的秩为3，一个最大无关组。25. 设，求正交变换使得化为标准形。解：（1）二次型的矩阵为： （3分）（2）由得的特征值为： （3分）（3）当时，解得的一个基础解系为：； 当时，解得的一个基础解系为：； 当时，解得的一个基础解系为：的三个正交单位特征向量为： （6
5、分）（4）令，为正交矩阵，作正交变换，得 （2分）26. 求下列非齐次方程组的一个特解及对应的齐次线性方程组的基础解系：并写出解。四证明(6分)27.已知向量组线性无关，证明线性方程组无解。江 苏科技大学20082009学年第2学期线性代数课程A卷评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。1.C； 2.C； 3.A； 4.B； 5.D; 6.C. 7.D; 8. C； 9.A; 10.C.二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）11.0 12. 13.; 14.3; 15; 16.2;
6、17.; 18. 19. 20.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21解：原式 3分 3分 3分22解由可得 3分故 3分 3分23.解： 3分 4分 2分24解： 3分， 3分所以第1、2、3列构成一个最大无关组 3分25.解 (1)故的特征值为 2分当时,解方程,由 得基础解系 2分当时,解方程,由 得基础解系 2分显然，P1，P2正交，单位化可得. 3分26.解： 3分特解 2分齐次方程的基础解系为 2分所求通解为： 2分四.证明题(6分)27.证明：向量组是线性无关的，其秩为3， 2分而方程组的增广矩阵的秩等于向量组的秩，即方程组的增广矩阵的秩为3，方程组系数矩阵为32
7、矩阵，其秩应小于3(或方程组系数矩阵的秩等于向量组的秩，而的部分向量组是线性无关的，所以的秩为2，即方程组系数矩阵的秩为2) 2分方程组系数矩阵与方程组的增广矩阵的秩不相等，故方程组无解。 2分线性代数试题答案及评分参考一. 单项选择题（每小题2分，共10分） 1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.D二. 填空题(每小题2分, 共20分)11. 2 12. 13. 14. 或 15. 2 16. 1.5 17. 2 18. 19. 3 20. 三. 计算题(每小题4分, 共32分)21. 解：将D的第2列的(-x)倍，第3列的(-y)倍，第4列的(-z)
8、倍加到第1列： 2分= 2分22. 解： 2分 2分 23. 2分经计算， 1分所以 1分 24. 解：取； 1分 ； 3分 则是正交向量组。25. 对矩阵作初等行变换：， 2分故秩=3。 2分26. 对增广矩阵作初等变换得： 2分得同解方程组，取特解及相伴方程组基础解系， 1分 得通解。其中k为任意实数。 1分27. 解：得矩阵A的特征值等于1,-1,2; 2分 所以矩阵的特征值等于2, 0, 9。 2分28. 解：A的顺序主子式 3分所以A是正定矩阵。 1分四. 计算题(每小题6分, 共18分)29. 解：由得。 2分 因得 2分 所以- 2分30. 解：对下列矩阵作初等行变换 3分所以极大线性无关组为： 或 3分31. 解：二次型的矩阵为，计算它的特征值： 2分得，标准型为 2分符号差：2-1=1 2分五. 证明题 (每小题5分, 共10分)32. 证明： 因为是对称矩阵，所以有。 2分 因为， 2分所以也是对称矩阵。 1分33. 证明：考察矩阵，因为 ，
