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1、高等数学（下）知识点 第 1 页 共 14 页 高等数学下高等数学下册册知识点知识点 第六第六章章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数 （一）（一） 向量及其线性运算向量及其线性运算 1 1、 单位向量，零向量，向量平行单位向量，零向量，向量平行； 2 2、 线性运算：加减法、数乘线性运算：加减法、数乘； 3 3、 向量的坐标分解式向量的坐标分解式； 4 4、 利用坐标做向量的运算：利用坐标做向量的运算：设设 ),( zyx aaaa ， ),( zyx bbbb ， 则则 ),( zzyyxx babababa , , ),( zyx aaaa ； （重点（重点） 5 5、 向量的
2、模、方向角、投影：向量的模、方向角、投影： 1 1） 向量的模：向量的模： 222 zyxr ； 2 2） 两点间的距离公式：两点间的距离公式： 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxxBA 3 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角, 4 4） 方向余弦：方向余弦： r z r y r x cos ,cos ,cos （重点（重点） 1coscoscos 222 5 5） 投影：投影： cosPraaju ，其中其中为向量为向量a 与与u 的夹角。的夹角。 （二）（二） 数量数量积，向量积积，向量积（重点重点） 1 1、 数量积数
3、量积： cosbaba 1 1） 2 aaa 2 2） ba 0ba zzyyxx babababa 2 2、 向量积向量积：bac 高等数学（下）知识点 第 2 页 共 14 页 大小：大小： sinba ，方向：，方向： cba , 符合右手规则符合右手规则 1 1）0 aa 2 2）ba /0 ba zyx zyx bbb aaa kji ba 运算律：反交换律运算律：反交换律 baab （三）（三） 曲面及其方程曲面及其方程 1 1、 旋转曲面：旋转曲面： yoz面上曲线 面上曲线 0),(:zyfC ， （非重点）（非重点） （重点（重点）绕绕y轴旋转一周：轴旋转一周： 0),( 2
4、2 zxyf （重点（重点）绕绕z轴旋转一周：轴旋转一周： 0),( 22 zyxf 2 2、 柱面柱面： 0),(yxF 表示母线平行于表示母线平行于z轴，准线为轴，准线为 0 0),( z yxF 的柱面的柱面 （四）（四） 空间曲线及其方程空间曲线及其方程 1 1、 一般方程：一般方程： 0),( 0),( zyxG zyxF 2 2、 参数方程：参数方程： )( )( )( tzz tyy txx ，如，如螺旋线：螺旋线： btz tay tax sin cos 3 3、 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 高等数学（下）知识点 第 3 页 共 14 页 0),( 0),
5、( zyxG zyxF ，消去，消去z，得到，得到曲线在面曲线在面xoy上的投影上的投影 0 0),( z yxH （五）（五） 平面及其方程平面及其方程（重点（重点） 1 1、 点法式方程：点法式方程： 0)()()( 000 zzCyyBxxA 法向量：法向量：),(CBAn ，过点，过点 ),( 000 zyx 2 2、 一般式方程：一般式方程：0DCzByAx 截距式方程：截距式方程： 1 c z b y a x 3 3、 两平面的夹角：两平面的夹角： ),( 1111 CBAn ， ),( 2222 CBAn ， 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos
6、CBACBA CCBBAA 21 0 212121 CCBBAA 21/ 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 4 4、 点点 ),( 0000 zyxP 到平面到平面 0DCzByAx 的距离：的距离： 222 000 CBA DCzByAx d （六）（六） 空间直线及其方程空间直线及其方程（重点（重点） 1 1、 一般式方程：一般式方程： 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 2 2、 对称式（点向式）方程：对称式（点向式）方程： p zz n yy m xx 000 方向向量：方向向量：),(pnms ，过点，过点 ),( 000 zyx 高等数学（下）
7、知识点 第 4 页 共 14 页 3 3、 参数式方程参数式方程： ptzz ntyy mtxx 0 0 0 4 4、 两直线的夹角两直线的夹角：),( 1111 pnms ，),( 2222 pnms ， 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos pnmpnm ppnnmm 21 LL 0 212121 ppnnmm 21/L L 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 5 5、 直线与平面的夹角直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，：直线与它在平面上的投影的夹角， 222222 sin pnmCBA CpBnAm /L 0CpBnAm L p
8、C n B m A 第七第七章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 （一）（一） 基本概念基本概念 1 1、 多元函数多元函数：),(yxfz 的定义域的定义域（重点（重点） 2 2、 极限极限： Ayxf yxyx ),(lim ),(),( 00 3 3、 连续连续： ),(),(lim 00 ),(),( 00 yxfyxf yxyx 4 4、 偏导数偏导数定义定义 5 5、 计算计算偏导数偏导数以及以及二阶二阶偏导数偏导数（重点（重点） 6 6、 方向导数方向导数： （重点：记住公式（重点：记住公式） 高等数学（下）知识点 第 5 页 共 14 页 coscos y f x
9、 f l f 其中其中 , 为为l的方向角的方向角。 7 7、 梯度：梯度：),(yxfz ，则，则 jyxfiyxfyxgradf yx ),(),(),( 000000 。 （重点（重点） 8 8、 掌握掌握计算计算全微分：设全微分：设 ),(yxfz ，则，则d dd zz zxy xy （重点（重点） （二）（二） 性质性质 1 1、 函数函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系： （重点（重点） 2 2、 微分法微分法 1 1） 定义：定义： u x 2 2） 复合函数复合函数求导求导：链式法则：链式法则（重点（重点）
10、 z 例例：若若 ( , ),( , ),( , )zf u v uu x y vv x y ，则，则 v y zzuzv xuxvx ， zzuzv yuyvy 3 3） 隐函数隐函数求导求导（重点（重点） 由方程, ,0F x y z 确定( , )zz x y，求, zz xy 等。 方法：第一步构造函数 ( , , )FF x y z , 第二步 求 x F y F z F， 求 , xyz FFF 时， 均视,xyz为地位平等的自变量。 偏导数存在偏导数存在 函数可微函数可微 函数连续函数连续 偏导数连续偏导数连续 充分条件充分条件 必要条件必要条件 定义定义 1 2 2 3 4 高
11、等数学（下）知识点 第 6 页 共 14 页 即求 x F 时，视,yz为常数，其余类似。 第三步 x z Fz xF y z F z yF （三）（三） 应用应用 1 1、 极值极值 1 1） 无条件极值：无条件极值：求函数求函数),(yxfz 的极值的极值（重点（重点） 解方程组解方程组 0 0 y x f f 求出所有驻点求出所有驻点，对于每一个驻对于每一个驻点点 ),( 00 yx ，令，令 ),( 00 yxfA xx ， ),( 00 yxfB xy ， ),( 00 yxfC yy ， 若若0 2 BAC，0A，函数有极小值，函数有极小值， 若若0 2 BAC，0A，函数有极大值
12、；，函数有极大值； 若若0 2 BAC，函数没有极值；，函数没有极值； 若若0 2 BAC，不定。，不定。 2 2） 条件极值：求函数条件极值：求函数),(yxfz 在条件在条件0),(yx下的极值下的极值（重点（重点） 令：令： ),(),(),(yxyxfyxL LagrangeLagrange 函数函数 解方程组解方程组 0),( 0 0 yx L L y x 2 2、 几何应用几何应用 1 1） 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面 曲线曲线 )( )( )( : tzz tyy txx ，则，则上一上一点点 ),( 000 zyxM （对应参数为（对应参数为 0 t）处的 ）处的 高
13、等数学（下）知识点 第 7 页 共 14 页 切线方程为：切线方程为： )()()( 0 0 0 0 0 0 tz zz ty yy tx xx 法平面方程为：法平面方程为： 0)()()( 000000 zztzyytyxxtx 2 2） 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（重点（重点） 曲面曲面0),(:zyxF，则，则上一点上一点),( 000 zyxM 处的处的切平面方程求法切平面方程求法： 第一步构造函数 ( , , )FF x y z , 第二步 求 x F y F z F， 求 , xyz FFF 时， 均视,xyz为地位平等的自变量。 即求 x F 时，视,yz为常数，其余类
14、似。 第三步切平面的法向量 000000000 (,),(,),(,) xyz nF xyzF xyzF xyz 第四步：切平面方程为 0)(,()(,()(,( 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 法线方程为：法线方程为： ),(),(),( 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx 曲面曲面 :( , )zf x y ，则，则上一点上一点 ),( 000 zyxM 处的处的切平面方程求法切平面方程求法： 第一步构造函数 ( , )Fzf x y, 第二步 求 x F y F z F， 求 , xyz FFF 时， 均视,xyz为地位平等的自变量。 即求 x F 时，视,yz为常数，其余类似。 第三步切平面的法向量 0
