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1、第四讲 Black-Scholes模型（一）,金融数学基础,一、证券价格模型 （本节考虑不支付红利的证券的价格模型。）,1. 布朗运动与伊藤过程 定义4.1.1 （标准）布朗运动（维纳过程） 是一个随 机过程，且满足 （1）轨线连续性： ， 是t的连续函数； （2）增量服从正态分布：在时段 内，增量 其中 即 （3）增量是独立的：对不重叠的时段 、 ， 增量 与 是独立的，即 令 ，在连续时间下，式的微分形式为： 此时,定义4.1.2 Generalized维纳过程 是一个随机过程， 若该过程满足 其中a,b为常数， 是一个维纳过程。 显然，由 可得： 对于公式，可以理解为Generalize
2、d维纳过程从t 时刻开始的值 以a的比率随着时间增长（adt），并加上一项无法预测的随机变动 （ bdW(t)）。 对于一般的随机过程，其单位时间内增量（瞬间增量）的均值 和方差分别被称为漂移率和方差率，于是，公式所定义的 Generalized维纳过程的漂移率为 a，方差率为 ，即Generalized维纳 过程的漂移率和方差率均为常数。,定义4.1.3 伊藤过程 是一个随机过程，若该过程满足 其中 为关于x,t 的函数， 是一个 维纳过程。,2. 伊藤引理 对于一个关于随机变量x和时间t的函数 ，若x代表证券价 格，则 可以代表以该证券为标的资产的衍生产品的价格。此 时，关于该衍生产品的价
3、格变动过程有： 定理4.1.1（伊藤引理）若 是一个伊藤过程，则随机 过程 满足下面的随机微分方程： 其中 证明：由式，有 从而,故有 这意味着，当 时， 此时 不再 呈现随机变动，将收敛于其期望值的极限，即有 而对于 ，由二元函数的Taylor公式，有 于是，当 时（此时亦有 ），有 定理得证。,显然，伊藤引理表明，随机过程 也是一个伊藤过程，其漂移 率为 ，方差率为 3. 几何布朗运动与对数正态分布 定义4.1.4 几何布朗运动 是一个随机过程，若该过程 满足 其中 是常数， 是一个布朗运动。 显然，几何布朗运动是一种特殊的伊藤过程。,证券价格模型： 目的：建立数学模型，刻画证券价格的变化
4、 证券价格模型应满足的条件 （1）证券价格是随机的；引入随机过程，用随机变量 代表股价 （2）证券价格有一定的趋势；在一定的时间段，证券价格保持上升 或下降的趋势，其平均收益率 近似为某一常数，该常数与时间 段有关。 （3）证券的当前价格与其平均收益率无关：条件（2）的延续，为 保证平均收益率仅与时间有关而设。 （4）证券价格不受过去股价的影响；即马尔科夫性。 离散模型随机游动 时间段 ，均匀分为 n个小时段， 共n+1个时点 ，相应的证券价格为,时段 内证券收益率为 于是，时段 内证券在 时间内的平均收益率为 若 为该证券的年收益率，则有 同样地，若 为证券的（年）波动率（标准差），则收益率
5、 在 时间内的均方差为 用 表示 在时段 内偏离均值的幅度，则此时有 我们可认为随机变量 导致了证券价格的随机变动。,要刻画证券价格的随机变动，需要对 服从的分布作出假设！ 最简单的分布假设：诸 独立同分布，均服从期望为 0，方差 为 的正态分布。此时，我们的证券价格模型为： 该模型被称为随机游动（random walk）模型，它满足我们设想中 的条件（1）（4）。 若令 其中 ，则证券价格模型也可写为： ,连续模型几何布朗运动 在式中，令 可得 引入维纳过程 则有 这说明证券价格的连续变动可以用几何布朗运动来描述。 例4.1.1 若一只不支付红利的股票价格变化服从几何布朗运动，波动 率为25
6、% ，预期年收益率为15% ，目前价格为8元，求该股票一周 后价格变化值的概率分布。 即一周后的股价变化服从均值为 0.023，标准差为0.277 的正态分布。,4. 伊藤积分与伊藤引理 对伊藤积分的严格定义与讨论此处不再引入，只是给出伊藤积分 形式的伊藤过程和伊藤引理，并给出伊藤积分的原则。 定义4.1.3 伊藤过程 是一个随机过程，若该过程满足 其中 为关于x,t的函数， 是一个维纳过程 定理4.1.1（伊藤引理）若 是一个伊藤过程，则对任意 的 ，随机过程 满足下面的随机积分方程： 其中， 对伊藤过程应用伊藤积分的两条原则： （1）在 两边可以同时积分； （2）对 积分时，先应用伊藤引理
7、化为（1）中形式后再积分。,二、BS模型的建立（目的：衍生证券定价！）,1.基本假设条件 对市场的假设： （1）市场交易无摩擦； （2）投资者可以卖空； （3）证券可以任意细分； （4）市场无套利； 对模型的假设： （5）存在无风险利率r ，投资者可以此利率随意进行资金借贷 （证券中包含利率为 r的债券） （6）标的证券在其衍生证券的有效期内没有现金收益的支付； （7）标的证券价格变动服从几何布朗运动； （8）衍生证券价格 是标的证券价格S和时间t的函数,2. BS方程 模型的基本思想：构做无风险资产组合，利用无套利原理对衍生 证券定价。 资产组合的构成：衍生证券头寸，标的证券头寸 考虑到 的
8、变动可由伊藤引理给出 故在很小的 时段 内，有 构做资产组合 ，包括一份衍生证券的多头和 份标的证券的空 头，其现值为：,该组合在 时段内的收益为： 资产组合的无风险化：为使资产组合 无风险，必须消除其收益中的随机项！ 令 ，则资产组合 成为无风险组合。 由无套利原理，该组合在 时段内的收益应为 ，即有,（11）式即为BS方程。该方程表明，衍生证券的价格V仅与标的 证券当前价格 S，时间 t，无风险利率 r和标的证券波动率 有关， 而与投资者的风险偏好和证券的价格趋势无关。 注意到BS方程当中没有随机项，它已经将随机性问题转化为确 定性的问题！对不同的衍生证券，只需给出相应的边界条件，即可 通
9、过求解该方程得到相应的定价公式。,3. 欧式期权的定价： Black & Scholes的原始解法 可参考文献6、7。 令 为一个敲定价格为K ，有效期为 T的欧式看涨期权在时 间 的价格，则有边界条件 在此定解条件下求解抛物型偏微分方程 即可得欧式看涨期权的定价公式。 方程（12）是一种较复杂的热传导方程（扩散方程），为解此方 程，我们通过函数变换将其向简单的热传导方程转化。 令 ，其中 为待定 的函数。下面来确定,下面的想法是取特定的 ，简化上面的方程！,确定期权的价值,就是要在区域,上求解如下定解问题,看涨期权,看跌期权,4. Black & Scholes方程的其它解法之一,（ 1)、
10、先作如下变换，将Black-Schole方程化为常系数抛物型方程的初值问题（Cauchy问题）令,原方程变为,看涨期权,看跌期权,方程（1）,( 2）、定理 （Poisson公式）齐次热传导方程,的解为,Poisson公式,（3）、将方程（1）变为热传导方程 作函数变换,则,将它们代入方程（1）有,令,即,则方程（1）化为如下热传导方程形式,看涨期权的边界条件,（4）、求方程的解析解 由Poisson公式有,令,则,再令,则,同理,变回原变量，有,欧式看涨期权的定价公式,其中,利用欧式看涨期权与看跌期权的平价公式,以及,有欧式看跌期权定价公式为,5. Black & Scholes方程的其它解
11、法之二,（1）. 变量替换1：参考文献5。,（2）.变量替换2: 参考文献1。,6. Black-Schole公式的风险中性定价方法,（1）、对数正态分布的密度函数,定理 设,则,的密度函数为,（2）、股票价格S(t)满足的随机微分方程的解,定理 若股票价格S(t)满足如下随机微分方程,则,（3）、ST的密度函数,ST的密度函数为,（4）、风险中性定价方法,所以,参考文献： 1 赵胜民 主编，衍生金融工具定价，中国财政经济出版社，2008 2 姜礼尚 著，期权定价的数学模型和方法，高等教育出版社，2003 3 朱德卫 著，衍生金融：市场、产品与模型，南开大学出版社，2009 4 李向科、丁庭栋 编著，数理金融学，北京大学出版社，2008 5 孙健 著，金融衍生品定价模型，中国经济出版社，2007 6 史树中 著，金融中的数学，高等教育出版社，2006 7 F.Black & M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, The journal of political economy, 81(3), 1973,
