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1、第2课时等差数列,第五章数列,基础梳理 1等差数列 (1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，,这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示，公差的表达式为_,公差,anan1d(nN*，n2),(2)等差中项 任意两个数a，b有且只有一个等差中项，即_.,(3)等差数列的通项公式 an_，an_，其中nm，也可以nm.但am、an必须是数列中的项，也可得d_或d_.,a1(n1)d,am(nm)d,(4)等差数列的求和公式(由倒序相加法推得) Snna1_.,思考探究 若数列an的前n项和为Snan2bn，能否断定数列an是等差数
2、列？反之是否成立？ 提示：数列an的前n项和为Snan2bn数列an是等差数列,2等差数列的性质 (1)若公差d0，则此数列为递增数列；若d0，则此数列为递减数列；若 d0，则此数列为常数列,(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍，即a1ana2an1a3an22a中,(3)若m，n，p，kN*，且mnpk，则_，其中am，an，ap，ak是数列中的项，特别地，当mn2p时，有_.,amanapak,2apaman,(4)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列但剩下的项按原顺
3、序构成的数列不一定是等差数列 (5)若数列an与bn均为等差数列，则mankbn仍为等差数列，其中m，k均为常数,(6)若an成等差数列，Sn为其前n项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列 (7)项数为偶数2n的等差数列an，有 S2nn(a1a2n)n(anan1)(an与an1为中间的两项)；,nd,an,课前热身 1(2011高考辽宁卷)Sn为等差数列an的前n项和，S2S6，a41，则a5_.,答案：1,2(2011高考大纲全国卷改编)设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k_.,解析：Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2
4、k1)d4k424， k5. 答案：5,3下列命题中正确的是_ 若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列；,若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列； 若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列 答案：,4已知等差数列an其前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_. 解析：数列an为等差数列， S10，S20S10，S30S20成等差数列，,即S10(S30S20)2(S20S10)， 10(S3030)220， S3060. 答案：60,(2011高考福建卷)已知等差数列a
5、n中，a11，a33.,考点1等差数列基本量的求法,(1)求数列an的通项公式； (2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值 【解】(1)设公差为d，则ana1(n1)d， 由a11，a33可得12d3，解之得d2. 从而an1(n1)(2)32n.,【名师点评】等差数列中知三求二问题需要列方程(组)来解决,变式训练 1(2011高考天津卷)已知an是等差数列，Sn为其前n项和，nN*.若a316，S2020，则S10的值为_,答案：110,考点2等差数列的判定,【名师点评】本题中SnSn12SnSn10，是构造等差数列的一种典型结构，可以看作一种结论，第(2)问中易漏掉n1的情况,变式训练
6、 2(2010高考安徽卷)设数列a1，a2，an，中的每一项都不为0.,考点3等差数列的性质及应用,【名师点评】利用等差数列的性质解题，需仔细观察代数式中各项间的联系，尤其在一些有关的结论上要熟记熟用,【解析】设an的前n项和为Sn，则S9S4 0，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70而aka40，故k10. 【答案】10,变式训练 3设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9_.,解析：数列an为等差数列，S3，S6S3，S9S6为等差数列， 2(S6S3)S3(S9S6)， S39，S6S327，则S9S645， a7a8a9S9S645. 答案：45,考点
7、4 等差数列的前n项和 (2010高考课标全国卷)设等差数列an满足a35，a109. (1)求an的通项公式； (2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值,【名师点评】等差数列的前n项和Sn可看作关于n的二次函数，因而可借助于二次函数的有关性质研究Sn的最值问题,【答案】11,方法技巧 1等差数列的证明或判定，主要方法有两种： (1)利用定义，证明an1an常数； (2)利用中项性质：2anan1an1(n2),2注意推广的通项公式的应用：aman(mn)d. 3由五个量a1，d，n，an，Sn中的三个可求其余两个量(知三求二)，善于恰当选择公式，减少运算量,4注意等差数列的设法如
8、奇数个数成等差数列，除了设成a，ad，a2d，外，还可设成，a2d，ad，a，ad，a2d，. 5计算中灵活运用常用性质，整体代换，可使运算量减少，体现运算的合理性、技巧性,(3)除上面方法外，还可将an的前n项和的最值问题看作Sn关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意nN*.,失误防范 1等差数列的性质amanapaq(mnpq)错误地理解为amapaq(mpq) 2等差数列的通项公式的变形anam(nm)d，易错记为anam(n1)d.,3在某个数列中，算项数时易算错，如a1，a2，a3，an中，从a3到a10应有8项，易错算成1037项,命题预测 1考试说明对等差
9、数列的能级要求为C，从近年江苏卷的考查来看，等差数列常出现在综合程度较高的解答题中，需要考生对等差数列有更深刻的认识，采用合理的方法加以解决,目前，对等差数列的考查，体现的不仅仅是知识点的综合，更多的是数学推理能力(包括演绎推理与合情推理)、运算能力、数学表达能力的融合,2本知识点考查形式主要有三种形式：一是直接利用公式求指定的an和Sn；二是利用其性质求参数或解决相关问题；三是通过适当化归，把非等差数列问题转化成等差数列问题再求解,3预测2013年考查等差数列的通项公式及性质仍将是命题的主要方向，但通过保留部分等差数列性质构造“类等差数列”值得关注,规范解答 (本题满分16分)(2011高考
10、江苏卷)设M为部分正整数组成的集合，数列an的首项a11，前n项和为Sn.已知对任意的整数kM，当整数nk时，SnkSnk2(SnSk)都成立,(1)设M1，a22，求a5的值； (2)设M3,4，求数列an的通项公式,【解】(1)由题设知，当n2时，Sn1Sn12(SnS1)， 即(Sn1Sn)(SnSn1)2S1. 从而an1an2a12.3分 又a22，故当n2时，ana22(n2)2n2. a52528.6分,(2)由题设知，当kM3,4且nk时SnkSnk2Sn2Sk， 且Sn1kSn1k2Sn12Sk， 得an1kan1k2an1， 即an1kan1an1an1k， 故当n8时，a
11、n6，an3，an，an3，an6成等差数列，,且an6，an2，an2，an6也成等差数列.9分 从而当n8时，2anan3an3an6an6， 且an6an6an2an2， 所以当n8时，2anan2an2， 即an2ananan2.,于是当n9时，an3，an1，an1，an3成等差数列，从而an3an3an1an1， 故由式知，2anan1an1， 即an1ananan1. 12分 当n9时，设danan1，当2m8时，m68，从而由式知,2am6amam12，故2am7am1am13， 从而2(am7am6)am1am(am13am12) 于是am1am2ddd. 因此，an1and，对任意n2都成立，,又由SnkSnk2Sn2Sk(k3,4)，可知(SnkSn)(SnSnk)2Sk，14分,【得分技巧】解决本题的关键在于： 1要善于从(1)中的简单情况找出解(2)的思路 2要善于利用公式anSnSn1(n2)把Sn转化成an. 3要注意从函数的观点处理数列问题,【失分溯源】本题难度较大，得分率较低，失分的主要原因：一是不能从(1)的解题过程中找出(2)的解题思路；二是下标之间的关系找不清,
