《高考数学一轮复习 2.2 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 2.2 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A（49页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,一、函数的奇偶性,1.定义:如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)在定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;如果对于函数f(x)不具有上述性质,则称f(x)不具有奇偶性;如果对于函数f(x)同时具有上述两条性质,则称f(x)既是奇函数又是偶函数.,2.2函数的奇偶性与周期性,若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数;若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数.,图像法(利用函数图像的对称性确定函数的奇偶性),f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称;,f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称
2、.,3.性质:,若函数f(x)具有奇偶性,则函数的定义域关于原点对称;,2.判断函数奇偶性的方法:,定义法(辨析f(-x)与f(x)的关系),若函数f(x)为奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;,奇函数f(x)在相对应的区间上单调性一致;偶函数在相对应的区间上单调性相反.,二、函数的周期性,1.定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内的任意x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数T叫做这个函数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最,小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.,2.性质:,周期函数的周期不止一个.如果T是函数f(x)的周期,则nT
3、(nZ,且n0)也是f(x)的周期.,如果函数f(x)的周期为T,则f(x)(0)也是周期函数,且周期为.,如果函数f(x)的周期为T,则T也是 的周期.,周期的推导与利用函数的周期解决问题.,1.设f(x)是R上任意的一个函数,则下列叙述正确的是(),(A)f(x)f(-x)是奇函数.,(B)f(x)|f(-x)|是奇函数.,(C)f(x)-f(-x)是偶函数.,(D)f(x)+f(-x)是偶函数.,由F1(-x)=f(-x)f(x)=F1(x),得F1(x)是偶函数;,设F2(x)=f(x)|f(-x)|,其奇偶性取决于f(x)的奇偶性;,设F3(x)=f(x)-f(-x),由F3(-x)
4、=f(-x)-f(x)=-F3(x),得F3(x)是奇函数;,设F4(x)=f(x)+f(-x),由F4(-x)=f(-x)+f(x)=F4(x),得F4(x)是偶函数.,【答案】D,【解析】设F1(x)=f(x)f(-x),2.奇函数f(x)的定义域为R,方程f(x)=0有且只有三个实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3等于(),(A)3.(B)1.(C)0.(D)不确定.,【解析】不妨设x1x2x3,由奇函数图像的对称性知x2=0,x1+x3=0,x1+x2+x3=0.,【答案】C,3.设f(x)是周期为2的奇函数,当0 x1时,f(x)=2x(1-x),则f(-) 等于(),(A)-.
5、(B)-.(C).(D).,【解析】由f(x)是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:f(-)=f(-+2)=f(-)=-f()=-2(1-)=-.,【答案】A,题型1函数的奇偶性,例1(1)已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x-2)为奇函数,且f (3)=5,则f(7)=.,(2)已知函数f(x)=a- ,若f(x)为奇函数,则a=.,【分析】(1)利用f(x)为奇函数,g(x)=f(x-2)为奇函数,递推出f (x)的性质;,(2)利用f(x)为奇函数,由特值法f(0)=0求a的值.,【解析】(1)f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x),又g(x)=f(x-2)为奇函数,g(-x)=
6、-g(x),f(-x-2)=-f(x-2),f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),f(7)=f(4+3)=f(3)=5.,(2)f(x)为奇函数,定义域为R,f(0)=0,a- =0,即a= .,【答案】(1)5(2),【点评】(1)把握住函数图像关于两个点对称时如何推导函数的性质,f(x)与g(x)均为奇函数,可得递推式f(x+4)=f(x),再由 f(3)=5就可得到结果.(2)在解决小题时,用特值法确定参数a的值是常用的方法.,变式训练1(1)函数f(x)为奇函数,且x(-,0)时,f(x)=x(x-1),则x(0,+)时,f(x)等于(),(A)-x(x+1).(B)-x
7、(-x+1).,(C)x(-x+1). (D)x(x-1).,(2)若函数f(x)= 是奇函数,则a+b的值为.,f(x)=-f(-x)=-(-x)(-x-1)=-x(x+1),故选A.,(2)f(x)为R上的奇函数,f(0)=0,即a=0.,又当x0时,-x0.,f(-x)+f(x)=(-x+b)+(x-1)=0,解得b=1,a+b=1.,【解析】(1)当x0时,-x0,因为函数f(x)为奇函数,【答案】(1)A(2)1,【分析】解决此类问题的一般思路是:先根据所给条件求出函数的周期,把较大的自变量的取值转化为较小的自变量的取值,达到“化繁为简”的目的.,题型2函数的周期性,例2已知函数f(
8、x)满足f(x+1)= ,若f(0)=2010, 求f(2014).,f(x+2)= = =- ,f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.,f(0)=2010,f(2014)=f(2012+2)=f(2)=- =- .,【解析】f(x+1)= ,出函数的周期,将一个较大的自变量的值转化成已知的较小的自变量的取值即可.,【点评】该题是抽象函数的求值问题,通过递推关系变形,得,变式训练2若函数f(x)在R上恒有f(x)=f(x+1)+f(x-1),且f(1)=2,求f(2014)的值.,【解析】f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x+2)+f(x),f(x+2)=-f(x-1
9、),f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+3)=f(x),f(x)是周期为6的周期函数.,f(2014)=f(6335+4)=f(4)=-f(1)=-2.,(1)求证:f(x)是偶函数;,(2)求证:f(x)是周期函数;,(3)若f(x)在0,1内是单调函数,求f()与f()的值.,题型3函数奇偶性、周期性与其他知识的综合,例3定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f (y),且f(0)0,f()=0.,x=0,就可以产生f(-y)与f(y)的形式;求周期要求系数相同,故只需令y为一个常数.,【解析】(1)令x=y=0,得2f(0)=2f(0)2.,f(
10、0)0,f(0)=1.,令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(-y)=f(y),f(x)为偶函数.,【分析】分析函数的奇偶性就是辨析f(-x)与f(x)的关系,故令,(2)令y=,得f(x+)+f(x-)=0.,f(x+)=-f(x-),f(x+1)=-f(x),f(x+2)=-f(x+1)=f(x),f(x)是T=2的周期函数.,(3)令x=,y=,得f()+f()=2f()f(),f()2f()-1=0.,f(x)在0,1上是单调函数,且f(0)=1,f()=0,f(x)在0,1上是减函数,f()f()=0,2f()-1=0,f()=.,令x=y=,得f()
11、+f(0)=2f()2,f()2= = ,f()0,f()=.,【点评】本题从概念入手,首先要求学生真正地掌握概念的本质东西,其次本题对特值法求值也考查得较细.,变式训练3设函数f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意的x1,x20,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2).,(1)设f(1)=2,求f(),f();,(2)求证:f(x)是周期函数.,【解析】(1)由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),x1,x20,知f(x)=f()f(),x 0,1.,f(1)=f()2=2,f()=f()20,f()=f()20,f()=,f()= .,(2)由题意知f(x)的
12、图像关于直线x=1对称,f(x)=f(2-x).,函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x)=f(x-2),f(x+2)=f(x),f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数.,1.判断函数的奇偶性一般用奇偶性的定义,利用定义的变形分析函数的奇偶性可达到事半功倍的效果.,2.利用奇偶性、周期性解决问题要紧紧围绕定义,特别在求值过程中,求出奇偶性或周期性,对解决问题会起到非常好的效果.,(A)(2,10).,(B)(4,5).,(C)(-,2(4,5)10,+).,(D)(-5,-4)(4,5).,例设f(x)、g(x)都是R上的奇函数,x|f(x)0=x|40
13、=x|20等于 (),【错解】f(x)0的解集为(4,10),f(x)0的解集为(-,410,+).,同理g(x)0的解集为(-,25,+).,而f(x)g(x)0等价于 或,解集为(4,5)(-,210,+).,故选C.,【剖析】上述解法没有用到“奇函数”这一条件,因此肯定是错误的.,【正解】f(x)、g(x)都是奇函数,f(x)g(x)是偶函数,由对称性,只需求f(x)0,g(x)0在(0,+)上的解集,由条件可知:f(x)0的解集为(4,10),g(x)0的解集为(2,5), 的解集为(4,5),由对称性可知,f(x)g(x)0的解集为(-5,-4)(4,5).,【答案】D,1.(基础再
14、现)函数f(x)=mx5+1为R上的偶函数,则实数m的值为(),(A)-1.(B)0.(C)1.(D)2.,【解析】由偶函数定义知f(-x)=f(x)对任意x都成立,m=0.,【答案】B,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),2.(基础再现)已知f(x)=ax2+bx是定义在b-1,2b上的奇函数,那么a+b的值是(),(A)-.(B).(C).(D)-.,【解析】f(x)是奇函数,a=0,b-1+2b=0,b=,a+b=.,【答案】B,3.(基础再现)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则(),(A)f(x)与g(x)均为偶函数.,(B)f(x)为偶函数,
15、g(x)为奇函数.,(C)f(x)与g(x)均为奇函数.,(D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.,f(x)为偶函数.,g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x),g(x)为奇函数.,【答案】B,【解析】f(-x)=3-x+3x=f(x),4.(视角拓展)若函数f(x)=x+2x3(xR),则函数g(x)=f(-x)在其定义域上是(),(A)单调递减的偶函数.(B)单调递减的奇函数.,(C)单调递增的偶函数.(D)单调递增的奇函数.,【解析】g(x)=f(-x)=-x+2(-x)3=-(x+2x3)=-f(x)=-f-(-x)=-g(-x),g(x)为奇函数.,f(x)在R上是
16、增函数,g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称,g(x)在R上是单调减函数.故选B.,【答案】B,5.(视角拓展)若f(x)的最小正周期为2T,并且f(x+T)=f(T-x)对一切实数x恒成立,则f(x)是(),(A)奇函数.,(B)偶函数.,(C)既是奇函数,又是偶函数.,(D)既不是奇函数,也不是偶函数.,f(T-x)=f(T-x-2T)=f(-x-T),f(x+T)=f-(x+T),设x+T=,则f()=f(-),故f(x)为偶函数.,【答案】B,【解析】f(x)的周期是2T,6.(基础再现)已知f(x)是最小正周期为T的周期函数,那么f(2x+1)的最小正周期是.,【解析】f(x)=f(x+T),f(2x+1)=f(2x+1+T)=f2(x+)+1,f(2x+1)的最小正周期为.,【答案】,二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),7.(高度提升)若函数f(x)=loga(x+ )是奇函数,则a=.,【解析】(法一)f
