《高考数学 专题辅导与训练 3.1《三角恒等变换》课件 理 新人教》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学 专题辅导与训练 3.1《三角恒等变换》课件 理 新人教（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、热点考向1 三角函数中的化简与求值 【例1】(2011南昌模拟)已知向量 =(sin,-2)与 =(1,cos)互相垂直，其中(0, ),求sin2(+ )+cos2(- )的值.,【解题指导】思路一：由已知求出sin、cos的值； 思路二：由已知求出tan的值，再把结论化成弦的齐次式的比值，再转化成tan.,【规范解答】方法一: =sin-2cos=0, 即sin=2cos, 又sin2+cos21， 由及(0, )得sin= cos= 所以sin2(+ )+cos2(- )=cos2+sin2 =2cos2-1+2sincos=2,方法二:由 =sin-2cos=0, 得sin=2cos,
2、即tan=2. 所以sin2(+ )+cos2(- )=cos2+sin2,【互动探究】上述条件不变，结论改为：若5cos(- 求cos 的值. 【解析】,三角函数求值问题的常见类型与解法 (1)基本类型： 给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值； 给值求值，即给出一些三角函数值，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值； 给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角.,(2)主要解题方法： 寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； 正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等. “知一求二”问题
3、在sinx、cosx、tanx中可知一求二；在sinx+cosx、sinx-cosx、sinxcosx中可知一求二； 已知正切值可求正弦、余弦齐次式的比值.,在解决“知一求二”问题时要注意符号问题.,已知函数f(x)=2sin( ),xR. (1)求f( )的值； (2)设,0, ,f(3+ )= f(3+2)= 求cos(+)的值.,【解析】(1) (2) sin= f(3+2)=2sin(+ ) =2sin(+ )=2cos= cos= 又,0, ,所以cos= sin= 所以cos(+)=coscos-sinsin,热点考向2 三角形中的求值与证明 【例2】(2011江西高考改编) 在A
4、BC中，角A,B,C的对 边分别是a,b,c，已知sinC+cosC=1- (1)证明：sinC (2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.,【解题指导】(1)化异角为同角：C 再利用倍角公式可证.(2)由a2+b2=4(a+b)-8配方求出a、b的值，再由余弦定理求边c.,【规范解答】(1)由sinC+cosC=1-sin 得,又C为ABC中的角，sin 0,(2)a2+b2=4(a+b)-8, a2+b2-4a-4b+4+4=0, (a-2)2+(b-2)2=0, 即a=2,b=2,sinC+cosC=1-sin 1, sinC= cosC=- 或cosC= (舍去),1.解三角形
5、问题中的边角互化 在利用正、余弦定理解三角形时，要注意选择合适的公式进行边角互化,可以边化角，也可以角化边. 2.正、余弦定理的应用条件为：,3.基本的解题规律 观察差异(或角，或函数，或运算)，寻找联系(借助于熟知的公式、方法或技巧)，分析综合(由因导果或执果索因)，实现转化.,ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若 (1)求角A； (2)若函数f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+sinx(x0, )，求函数f(x)的取值范围.,【解析】(1)由 及正弦定理得 即a2=b2+c2-bc，即bc=b2+c2a2， 所以， 由余弦定理得，cosA= 因为0A，所以A=
6、,(2)f(x)=cos2(x+A)-sin2(x-A)+sinx =cos2(x+ )-sin2(x- )+sinx =- cos2x+sinx=sin2x+sinx- =(sinx+ )2- 因为 x0, ，所以sinx0,1，由二次函数的图象，得函 数f(x)的取值范围为- .,热点考向3 三角形形状的判定 【例3】(2011江苏高考改编)在ABC中，角A，B，C所对应的边为a,b,c. (1)若sin(A+ )=2cosA,求A的值； (2)若cosA= b=3c,试判断ABC的形状并求sinC的值.,【解题指导】(1)左边展开；(2)利用余弦定理及cosA= b=3c寻找c、a之间的
7、关系，再判断ABC的形状，可利用正弦定理求sinC的值.,【规范解答】(1)sin(A+ )=2cosA, sinA= cosA,tanA= A(0,),A= (2)cosA= b=3c,a2=b2+c2-2bccosA=8c2, a= c, 由此可得：b2=(3c)2( c)2+c2=a2+c2, 所以ABC为直角三角形. 所以sinC= 或者由正弦定理得： 而sinA= sinC=,三角形形状的判定方法： (1)角的判定 若角A为最大角，则 cosA0ABC为锐角三角形 cosA0ABC为直角三角形 cosA0ABC为钝角三角形,(2)边的判定 若边c为最大边，则 a2+b2c2ABC为锐
8、角三角形 a2+b2=c2ABC为直角三角形 a2+b2c2ABC为钝角三角形,在角的判定中要注意角A为最大角，否则cosA0仅能判断角A为锐角，但不能判断ABC的形状，同理在边的判定中要注意边c为最大边这一条件.,设ABC三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 =(a,2b)， =(sinA,1)，且 (1)求角B的大小； (2)若ABC是锐角三角形， =(cosA,cosB)， = (1,sinA-cosAtanB),求 的取值范围.,【解析】(1) =(a,2b)， =(sinA,1)，且 a2bsinA=0， 由正弦定理得sinA2sinBsinA=0. 角A、B、C的取值范围为
9、(0,) sinB= 得B= 或B=,(2)ABC是锐角三角形，B=,由A+C=-B= 及0C 得A= -C( ). 结合0A 得,热点考向4 解三角形应用举例 【例4】(12分)(2011绵阳模拟)如图， 甲船以每小时 海里的速度向正北方 航行，乙船按固定方向匀速直线航行， 当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北 偏西105方向的B1处，此时两船相距 20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时， 乙船航行到甲船的北偏西120方向的 B2处，此时两船相距10 海里，问乙船每小时航行多少海里？,【解题指导】连接A1B2构造B1B2A1，解三角形求出边长B1B2即可.,【规范解答】如图，连结A1B2，
10、由已知得A2B2=10 海里， A1A2= 海里， A1A2=A2B2, 2分 又A1A2B2=180-120=60, A1A2B2是等边三角形， 4分， A1B2=A1A2=10 海里,由已知得,A1B1=20海里,B1A1B2=105-60=45， 6分 在A1B2B1中，由余弦定理得， B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1A1B2cos45 202+(10 )2-22010 =200. B1B2=10 海里. 10分 因此，乙船的速度的大小为 60 =30 (海里/小时). 答：乙船每小时航行30 海里. 12分,解斜三角形应用题的一般步骤 第一步理解题意,分清已知与未知,画出
11、示意图(一个或几个三角形); 第二步构建三角形,把实际问题中的长度、角度看做三角形相应的边和角,把实际问题转化为数学问题; 第三步应用正弦定理、余弦定理等数学知识解三角形; 第四步对解数学问题得出的结论得出实际问题的答案.,与几何有关的计算通常要尽可能画出示意图；测量底部不可到达点的高度，通常要在基线上选两个观察点，在同一平面内至少测量三个数据(角边角)，解两个三角形；若是直角三角形，求解更便捷.,某人骑自行车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时 测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30的方向上，行驶 6 km后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰 角为15，求此山的高度CD.(精确到0
12、.1 km)(参考数据 1.41, 1.73),【解析】作直观图，如图所示：,在ABC中,BAC=30,BCA=75-30=45, 由正弦定理 在RtBCD中，CD=BCtanDBC= 1.1(km).,转化与化归思想解决三角函数问题 1.三角函数问题的解题思路： 三角函数的一般解题思路为： “五遇五想”，即遇到切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值.“五遇五想”作为解题经验的总结和概括，其中就蕴含了一个变换思想(找差异，抓联系，促进转化).,2.角的凑配策略 三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角之间的关系十分重要.结论中有哪些角
13、,条件中有没有这些角,在审题时必须对此认真观察和分析. 常见的变角方式有: =(+)-;2=(+)+(-); 2-=(-)+;=(- 可视作 的 倍角， 可视为+的半角等.,凑配角时应注意的问题： (1)变换形式不唯一,应因题而异； (2)用结论角表示已知角，结论角与已知角的关系为和、差、倍、半关系，亦可以用已知角、特殊角表示结论角.,【典例】(2011安徽高考改编)已知函数f(x)=2sin(x- 若cos(-)= cos(+)=- (0 ),求证：f()2-2=0. 【解题指导】由cos(-)和cos(+)联立求出coscos，然后求出角,然后可证.,【规范解答】 coscos=0, 0 f()= f()2-2=0.,
