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1、.,1,第二章 连续时间系统的时域分析,连续时间系统一般是采用高阶微分方程进行描述，这种描述系统的方法称为输入-输出法或端口描述法。,时域分析：是指对系统的分析与计算全部在时间变量领域内进行，不通过任何变换，直接求解系统的微分方程。 比较直观，也是后面学习各种变换域分析方法的基础。,经典分析：求解微分方程,卷积分析：利用单位冲激响应可求得任意 激励下的零状态响应。,.,2,2.2 系统数学模型（微分方程）的建立,应根据实际系统的物理特性建立系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件约束特性和网络拓扑约束列写系统的微分方程。,元件约束特性：表征元件特性的关系式。 如：二端元件电阻、电容、电感各
2、自的电压与电流的关系以及多端元件互感、受控源、运算放大器等输出端口与输入端口之间的电压或电流关系。,网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系， 即KVL或KCL。,.,3,电感,电阻,电容,根据KCL,将元件关系代入，并化简：,二阶微分方程,例2-2-1 求并联电路的端电压 与激励 间的关系。,解：以 作变量，各元件的电压电流关系为：,.,4,不同性质的系统可能具有相同的数学模型。 对于复杂系统，可以用高阶微分方程描述。,机械位移系统,质量为m的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为 ，外加牵引力为 ， 与刚体运动速度 间的关系可由推导得：,二阶微分方程,.,
3、5,令 ，代入上式。由于 ，且对任意时间t均成立，因此有：,齐次解是齐次微分方程的解，是形式为 的一些指数函数的线性组合。,特征方程,对应的n个根 为微分方程的特征根。,一、齐次解,.,6,若n个特征根各不相同，则微分方程的齐次解为：,由初始条件决定。,若有重根，如 为 阶重根，则相应于 的重根部分将有 项：,.,7,若线性系统的激励信号为 ，响应为 ，其数学模型可用下列形式的高阶微分方程来描述：,若系统为时不变的，则C、E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。,方程的阶次由独立的动态元件个数 决定。,2.3 用时域经典法求解微分方程,时域经典法求解就是：齐次解+特解。,.,8,特征根
4、,因而对应的齐次解为：,例2-3：,解：系统的特征方程为：,.,9,二、特解,特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励 代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”，根据自由项的形式可设定特解的函数表达式，之后代入方程中，求出特解中的待定系数。,.,10,与几种典型激励函数对应的特解形式,.,11,已知： 求两种情况下方程的特解。,例2-4 给定微分方程式,代入方程有:,解：,根据等式两端对应幂次的系数相等，有,.,12, B是待定系数。,代入方程有:,要想获得惟一解，还需要借助一组求解区间内的边界条件。,.,13,三、借助初始条件求待定系数,对于n阶微分方程，若激励 是 时刻加入的，
5、则求解区间为 ，一组边界条件可以给定为响应及其各阶导数在此区间内任一时刻 处的值，即,通常取 ，这样对应的一组值就称为初始条件：,记为：,.,14,由,借助初始条件，即可建立联立方程组，确定系数 ，从而获得惟一解。,从系统的角度来看， 应是系统的完全响应。该响应由两部分组成：齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应，特征方程的根称为系统的“固有频率”,它决定了系统自由响应的全部形式；特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。,完全响应,自由响应,强迫响应,.,15,解： 列写微分方程为, 求齐次解 特征方程为：,特征根为：,齐次解,例2-5 如图所示电路，已知激励信号 ， 初始时刻电容端电压均为零，求输出信号 的表达式。,.,16, 查表可知特解为：,例2-5 如图所示电路，已知激励信号 ， 初始时刻电容端电压均为零，求输出信号 的表达式。,代入方程,求得,特解为,.,17,完全解为：,确定初始条件：0时刻（初始时刻） 端电压为0，即,由于 端电压为0，据KVL可知， 两端电压也为0，流过 、 的电流为0，即,因此,.,18,借助初始条件建立方程组：,求得,完全解为：,.,19,经典法对连续时间系统进行时域分析的过程,
