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1、数列极限的定义 Sx05,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,割圆术：,刘徽,一、概念的引入,怎样求圆的面积S？,如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , .,显然n越大, An越接近于S.,因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.,二、数列的定义,如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数 xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为xn,
2、 其中第n项xn叫做数列的一般项.,数列举例:,2, 4, 8, , 2n , ;,1, -1, 1, , (-1)n+1, .,数列xn可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), nN .,数列与函数,数列的几何意义,数列xn可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x1, x2, x3, , xn , .,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面图形的观察:,“无限接近”的等价含义: 想要xn与1有多接近, 就能有多接近.,想要|xn1|10,想要|xn1|104
3、,想要|xn1|10k,想要|xn1| ,当n, xna . 当n, |xn-a|0 . 当n, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|, （为事先给定的任意小的正数）.,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a.,怎样用数学语言描述？,数列极限的定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 都成立 则称常数a
4、是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,“ N ” 定义,数列极限的几何意义, 0, NN 当nN时 有|xna| .,存在 NN 当nN时 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外:,当nN时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:,任意给定a的e邻域(a-e, a+e),例1：, 0, NN 当nN时 有|xna| .,证明 ：,例2：, 0, NN 当nN时 有|xna| .,证明：,例3： 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, , qn-1, 的极限是0.,对于 0, 要使 |xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|e +1就可以了., 0, NN 当nN时 有|xna| .,证明：,因为 0,N= log|q|e +1N,当nN时, 有,|qn-1-0|=|q|n-1e ,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,作 业,P30： 3 (2) , (3) , 4 , 6,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,
