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1、第二节 函数的单调性与最值,三年9考 高考指数: 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质,1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点. 2.常与函数的图象及其他性质交汇命题. 3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现.,1.增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI,如果对于任意x1,x2D,且x1x2,则都有: (1)f(x)在区间D上是增函数_； (2)f(x)在区间D上是减函数_.,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),【即时应用
2、】 (1)如果函数f(x)在a,b上是增函数，对于任意的x1、x2a,b(x1x2)，判断下列结论的真假(在括号内填“真”或“假”) ；( ) (x1-x2)f(x1)-f(x2)0；( ) f(a)f(x1)f(x2)f(b)；( ) ( ),(2)已知函数f(x)为R上的减函数，若mn,则f(m)_f(n); 若f(|x|)f(1),则实数x的取值范围是_. (3)若函数y=ax与 在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+ bx在(0，+)上是_函数(填“增”或“减”).,【解析】(1)当函数f(x)在a,b上是增函数时，对于任意的x1、x2a,b(x1x2)，能得出真，假 (2)由减函数
3、的定义知，若mf(n); 若f(|x|)1,得:x1或x-1.,(3)由y=ax在(0，+)上是减函数，知a0； 由y= 在(0，+)上是减函数，知b0 y=ax2+bx的对称轴x= 0， 又y=ax2+bx的开口向下, y=ax2+bx在(0，+)上是减函数 答案：(1)真 真 假 真 (2) x|x1或x-1 (3)减,2.单调性、单调区间 若函数y=f(x)在区间D上是_或_，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间,增函数,减函数,【即时应用】 (1)定义在区间-4，4上的函数y=f(x) 的图象如图，则函数在区间_上 是减函数，在区间_上是
4、增函数. (2)函数 的单调减区间为_.,【解析】(1)由函数图象可知函数y=f(x)在区间-4,-2， 1,3上是减函数，在区间-2,1，3,4上是增函数. (2)画出函数 的图象可知，其单调减区间为(-,0), (0,+). 答案：(1)-4,-2，1，3 -2，1，3,4 (2)(-,0)和(0,+),3.函数的最大值、最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在MR, (1)满足以下条件,M是f(x)的最大值. 对任意xI,都有_； 存在x0I,使得_. (2)满足以下条件，M是f(x)的最小值. 对任意xI,都有_. 存在x0I,使得_.,f(x)M,f(x0)=M,f(
5、x)M,f(x0)=M,【即时应用】 (1)函数y=f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的定义域是_；最大值是_；最小值是_.,(2)函数f(x)= 在2,4上的最小值是_；最大值是_. 【解析】(1)由图象可知，函数的定义域为-3,02,3，最大值为5，最小值为1.,(2)因为f(x)= 在2,4上为单调增函数， 所以f(2)f(x)f(4), 所以f(x)max=f(4)= , f(x)min=f(2)= . 答案：(1)-3，02，3 5 1 (2),确定函数的单调性或单调区间 【方法点睛】 确定函数单调性及单调区间的常用方法及流程 (1)能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为:,
6、(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为：,(3)能求导的用导数法，其思维流程为： (4)能作差变形的用定义法，其思维流程为： 【提醒】确定函数的单调性(区间)，一定要注意定义域优先原则.,【例1】(1)(2011江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是_. (2)判断函数y= 在(-1，+)上的单调性. 【解题指南】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法.,【规范解答】(1)函数f(x)的定义域为( ，+)，令t=2x+1(t0), 因为y=log5t在t(0,+)
7、上为增函数，t=2x+1在( ，+)上为增函数， 所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为( ,+). 答案：( ，+),(2)方法一：定义法：设x1x2-1, 则y1-y2= x1x2-1,x2-x10,x2+10, 即y1-y20,y1y2. y= 在(-1,+)上是减函数.,方法二：导数法： 在(-1，+)上，y0,故y= 在(-1,+)上为减函数.,【互动探究】若将本例(1)中函数变为f(x)=|x2-4x+3|, 本例(2)中函数变为f(x)= ，区间变为(-1，1).则结果又如何？,【解析】(1)先作出函数y=x2-4x+3的图象，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数f
8、(x)=|x2-4x+3|的图象.如图所示. 由图可知，函数的增区间为1,2,3,+).,(2)方法一：设x1,x2(-1,1),且x1x2, 则f(x2)-f(x1)= = -1x1x21, |x1|1,|x2|1, x1-x20,x12-10,x22-10,|x1x2|1,即-10, 因此，当a0时，f(x2)-f(x1)0, 即f(x1)0时为减函数，当a0时为增函数.,方法二：因为f(x)= 当a0时，f(x)0. 故f(x)在(-1,1)上,当a0时为减函数， 当a0时为增函数.,【反思感悟】判断(或证明)函数单调性(区间)，一定要先确定定义域，然后根据所给函数的结构特征及要求选择合
9、适的方法求解，并且结果一定要写成区间的形式，当同增(减)区间不连续时，一般不能用并集符号连接.,【变式备选】(2012汕头模拟)函数y= 的单调增 区间为( ) (A)( ,+) (B)(3,+) (C)(-, ) (D)(-,2),【解析】选D.要使函数有意义,需x2-5x+60,即x3或x2,即函数 的定义域为(-,2)(3,+),令t=x2-5x+6=(x- )2- , t在(-,2)上递减,在(3,+)上递增, 又y= 在定义域上递减, f(x)= (x2-5x+6)在(-,2)上递增,在(3,+)上递减.,应用函数的单调性 【方法点睛】 应用函数的单调性可求解的问题 (1)由x1,x
10、2的大小，可比较f(x1)与f(x2)的大小； (2)知f(x1)与f(x2)的大小关系，可得x1与x2的大小关系； (3)求解析式中参数的值或取值范围；,(4)求函数的最值； (5)得到图象的升、降情况，画出函数图象的大致形状.,【例2】(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2-m)f(m2)的实数m的取值范围是_. (2)已知函数y=f(x)是偶函数，y=f(x-2)在0,2上是单调减函数，试比较f(-1),f(0)，f(2)的大小.,【解题指南】(1)根据f(x)的单调性，得到2-m与m2的大小关系，从而求解. (2)根据函数f(x)的性质先得到y=f(x)在0,2上的单调性或-2,
11、2上的图象，进而借助于单调性或图象比较出函数值的大小.,【规范解答】(1)因为f(x)为R上的增函数，且f(2-m)0. 解得:m1. 所以m的取值范围为:(-,-2)(1,+). 答案：(-,-2)(1,+),(2)方法一：因为y=f(x-2)的图象可由y=f(x)的图象向右平移2个单位而得到，而y=f(x)为偶函数，其图象关于直线x=0对称， 函数y=f(x-2)的图象关于直线x=2对称， 又y=f(x-2)在0,2上单调递减, 函数y=f(x-2)在2,4上单调递增， 因此,y=f(x)在0,2上单调递增， 又f(-1)=f(1), 0f(-1)f(0).,方法二：由方法一可得函数y=f
12、(x)在-2,2上图象的大致形状为 由图象知f(2)f(-1)f(0).,1,2,-1,-2,x,y,f(0),f(2),f(-1),【互动探究】若将本例(1)中条件变为:f(x)为0,4上的增函数，则m的取值范围如何？ 【解析】由题意知： 解得： 1m2.,【反思感悟】1.根据函数的单调性，解含有“f”号的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x)f(h(x)”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域. 2.比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.,【
13、变式备选】已知函数f(x)对于任意a，bR,总有f(a+b) =f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1 (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3； (3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)2恒成立，求实数n的取值范围,【解析】(1)设x1,x2R，且x1x2，则x2-x10， f(x2-x1)1 ， f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10, f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x)在R上是增函数.,(2)f(4
14、)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, f(2)=3, 不等式f(3m2-m-2)3即为 f(3m2-m-2)f(2). 又f(x)在R上是增函数， 3m2-m-22，解得 因此不等式的解集为m| ；,(3)令a=b=0,得 f(0)=2f(0)-1,f(0)=1. f(nx-2)+f(x-x2)2， 即f(nx-2)+f(x-x2)-11， f(nx-2+x-x2)f(0) 由(1)知nx-2+x-x20恒成立， x2-(n+1)x+20恒成立 =-(n+1)2-420, ,求函数的最值 【方法点睛】 求函数最值的常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2
15、)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；,(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值,【例3】(1)已知函数f(x)= ,则f(x)在 ,2 上的最大值为_，最小值为_. (2)函数y= 的最大值为_. (3)(2012珠海模拟)已知函数f(x)=kx3-3kx2+b在-2,2上 最大值为3,最小值为-17,求k、b的值.,【解题指南】(1)可用单调性法；(2)选用换元法，转化为二次函数求解最值.(3)求导后,对k分大于0和小于0讨论,确定单调区间,根据最值列出含有k、b的方程组,解方程组可得.,【规范解答】(1)f(x)= 在 ,2上为减函数， f(x)min=f(2)= f(x)max= 答案:,(2)令 则y= 当t= 时，ymax= . 答案:,(3)由题设知k0且f(x)=3kx(x-2), 02时,x(x-2)0; x=0和x=2时,f(x)=0, 由题设知-2x2,f(-2)=-20k+b,f(0)=b, f(2)=-4k+b.,k0, f(x)在(-2,0)上
