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1、1 1 最新人教版 七年级数学上册培优辅导讲义 第 1 1 讲 与有理数有关的概念 考点方法破译 1了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个 数的相反数、绝对值、倒数. 经典考题赏析 【例 1】写出下列各语句的实际意义向前7 米 收人50 元 体重增加3 千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量而相反意义的量应该包合两个 要素 ： 一是它们的意义相反二是它们具有数量而且必须是同类两，如“向前与自后、收 入与支出、增加与减少等等” 解：
2、向前7 米表示向后 7 米收入50 元表示支出 50 元体重增加3 千克表示体重 减小 3 千克. 【变式题组】 01如果10%表示增加 10%，那么减少 8%可以记作（ ） A 18% B 8% C 2% D 8% 02 （金华）如果3 吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5 吨大米表示为( ) A 5 吨 B 5 吨 C 3 吨 D 3 吨 03 （山西） 北京与纽约的时差13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京 时间 15：00，纽约时问是_ _ 【例】在，0，这四个数中有理数的个数（ ) 22 7 0.033 . 3 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【解法
3、指导】有理数的分类：按正负性分类，有理数；0 正整数 正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 （2）按整数、分数分类，有理数； 其中分数包括有限小数和无限循环小数， 正整数 整数 0 负整数 正分数 分数 负分数 因为 3.1415926是无限不循环小数， 它不能写成分数的形式， 所以 不是有理数， 22 7 是分数，是无限循环小数可以化成分数形式， 0 是整数， 所以都是有理数， 故选 C0.033 . 3 2 2 【变式题组】 01在 7，0，15， ，301，31.25， ，100，1，3 001 中，负分数为 ， 1 2 1 8 整数为 ，正整数 . 02 （河北秦皇岛）请把下列各
4、数填入图中适当位置 15， ， ，0.1，5.32，123, 1 9 2 15 13 8 2.333 【例】 （宁夏） 有一列数为1， ， ， 找规律到第 2007 个数是 .【解 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律归纳去 猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律 ： 各数的分子部是 1； 各数的分母依次为 1， 2，3，4，5，6，处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第 2007 个 数的分子也是 1分母是 2007，并且是一个负数，故答案为. 1 2007 【变式题组】 01（湖北宜昌） 数学解密
5、 ： 第一个数是 32 1， 第二个数是 53 2， 第三个数是 954， 第四个数是 1798观察并猜想第六个数是 . 02 （毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填_. 03 （茂名）有一组数 1，2，5，10，17，26请 观察规律，则第 8 个数为_ _ . 【例】 （2008 年河北张家口）若 1的相反数是3，则 m 的相反数是_. m 2 【解法指导】 理解相反数的代数意义和几何意义， 代数意义只有符号不同的两个数叫互为相 反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫 互为相 反数，本题 2,m4，则 m 的相反数4。 m 2 【变式
6、题组】 01 （四川宜宾）5 的相反数是( ) A5 B C 5 D 1 5 1 5 02已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，则 abcd_ 03如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形 A、B、C 内分别填人适当的 数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形 A、B、C 内的 三个数依次为( ) A 1 ,2，0 B 0，2，1 C 2，0，1 D 2，1，0 【例】 （湖北）a、b 为有理数，且 a0，b0，|b|a，则 a,b、a,b 的大小顺序是 ( ) A baab B abab C baab D aabb 【解法指导】理解绝对值的
7、几何意义 ： 一个数的绝对值就是数轴上表示 a 的点到原点的距离, 3 3 即 |a|,用 式 子 表 示 为 |a|.本 题 注 意 数 形 结 合 思 想 ， 画 一 条 数 轴 0) 0(0) (0) a a a a a ( 标出 a、b,依相反数的意义标出b,a,故选 A 【变式题组】 01推理若 ab，则|a|b|； 若|a|b|，则 ab； 若 ab，则|a|b|； 若 |a|b|，则 ab，其中正确的个数为（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 02a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，则 . |a| a |b| b |c| c 03a、b、c 为不等于 O 的有
8、理数，则的值可能是_. a |a| b |b| c |c| 【例】 （江西课改）已知|a4|b8|0，则的值. a + b ab 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数 a 的绝对值都是非负数，即 |a|0所以|a4|0，|b8|0.而两个非负数之和为 0，则两数均为 0. 解：因为|a4|0，|b8|0，又|a4|b8|0，|a4|0，|b8|0 即 a40，b80，a4，b8.故 a + b ab 12 32 3 8 【变式题组】 01已知|a|1，|b|2，|c|3，且 abc，求 abC 02 （毕节）若|m3|n2|0，则 m2n 的值为( ) A 4 B 1 C
9、0 D 4 03已知|a|8，|b|2，且|ab|ba，求 a 和 b 的值 【例】 （第 18 届迎春杯）已知(mn)2|m|m，且|2mn2|0求 mn 的值 【解法指导】 本例的关键是通过分析(mn)2|m|的符号， 挖掘出 m 的符号特征,从而把问 题转化为(mn)20，|2mn2|0，找到解题途径. 解：(mn)20，|m|O (mn)2|m|0，而(mn)2|m|m m0,(mn)2mm，即(mn)20 mnO 又|2mn2|0 2mn20 由得 m ，n ， mn 2 3 2 3 4 9 【变式题组】 01已知(ab)2|b5|b5 且|2ab1|0，求 ab 02 （第 16
10、届迎春杯）已知 y|xa|x19|xa96|，如果 19a96ax96, 4 4 求 y 的最大值. 演练巩固反馈提高 01观察下列有规律的数 , ,根据其规律可知第 9 个数是( ) 1 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 A B C D 1 56 1 72 1 90 1 110 02 （芜湖）6 的绝对值是( ) A 6 B 6 C D 1 6 1 6 03在,8.四个数中，有理数的个数为( ) 22 7 . 0.3 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 04若一个数的相反数为 ab，则这个数是( ) A ab B ba C ab D ab 05数轴上表示互为相反
11、数的两点之间距离是 6，这两个数是( ) A 0 和 6 B 0 和6 C 3 和3 D 0 和 3 06若a 不是负数，则 a( ) A 是正数 B 不是负数 C 是负数 D 不是正数 07 下列结论中， 正确的是( )若 ab,则|a|b| 若 ab,则|a|b|若 |a| |b|，则 ab 若|a|b|,则 ab A B C D 08有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则 a、b，a，|b|的大小关系正确 的是( ) A |b|aab B |b| baa C a|b|ba D a|b|ab 09一个数在数轴上所对应的点向右移动 5 个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数
12、是_. 10已知|x2|y2|0，则 xy_ _. 11a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，求= |a| a |b| b |abc| abc |c| c 12若三个不相等的有理数可以表示为 1、a、ab 也可以表示成 0、b、 的形式， 试求 a、b b a 的值. 13已知|a|4，|b|5，|c|6，且 abc，求 abc 14|a|具有非负性，也有最小值为 0，试讨论：当 x 为有理数时，|x1|x3|有没有 最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由. 5 5 15点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为|AB|当 A、B 两 点中有一点在原点时，不
13、妨设点 A 在原点，如图 1，|AB|OB|b|ab|当 A、B 两 点都不在原点时有以下三种情况:如图 2，点 A、B 都在原点的右边|AB|OB|OA| |b|a|ba|ab|； 如图 3， 点 A、 B 都在原点的左边， |AB|OB|OA|b| |a|b(a)|ab|； 如图 4，点 A、B 在原点的两边，|AB|OB|OA|b| |a|b（a）|ab|；综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|ab| 回答下列问题: 数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示2和5的两点之间的距离 是 , ，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是 ； 数轴上表示 x 和1 的两点分别是点
14、 A 和 B， 则 A、 B 之间的距离是 ， 如果|AB|2， 那么 x ； 当代数式|x1|x2|取最小值时，相应的 x 的取值范围是 培优升级奥赛检测 01 （重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为 1999 的线段，则此线段在这条数轴上最多 1 9 能盖住的整数点的个数是( ) A 1998 B 1999 C 2000 D 2001 02 （第 18 届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数 a、b、c 对应的点的位置如图所示，有 下列四个结论 ： abc0;|ab|bc|ac|； （ab） (bc)(ca)0； |a| 1bc其中正确的结论有( ) A 4 个 B 3 个 C 2 个 D
15、1 个 03如果 a、b、c 是非零有理数，且 abc0那么 - 的所有可能的 a |a| b |b| c |c| abc |abc| 值为（ ） A 1 B 1 或1 C 2 或2 D 0 或2 04已知|m|m，化简|m1 |m2|所得结果( ) A 1 B 1 C 2m 3 D 3 2m 05如果 0p15，那么代数式|xp|x15|xp15|在 px15 的最小值( ) A 30 B 0 C 15 D 一个与 p 有关的代数式 06|x1|x2|x3|的最小值为 . 07若 a0，b0，使|xa|xb|ab 成立的 x 取值范围 . 08 （武汉市选拔赛试题）非零整数 m、n 满足|m|n|50 所有这样的整数组(m，n)共 有 组 09若非零有理数 m、n、p 满足1则 . |m| m |n| n |p| p 2mnp |3mnp| 10 （19 届希望杯试题）试求|x1|x2|x3|x1997|的最小值. 6 6 11已知(|x1|x2|)（|y2|y1|） （|z3|z1|）36，求 x2y3z 的最 大值和最小值. 12电子跳蚤落在数轴上的某点 k
