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1、内容提要 1.元素法； 2.平面图形的面积； 3.立体的体积。 教学要求 1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实 际应用题 ； 2.熟悉各种平面面积的积分表达方法； 3.熟练掌握应用微元法求体积的方法； 4. 能用定积分表达某些物理量 。,定积分的应用,回顾,用定积分求曲边梯形面积的问题：,及直线,所围成的曲边梯形的面积,其求解步骤如下：,一、 定积分的微元法,第一步：分割,将区间,任意分成,个小区间,由此曲边梯形就相应地分成,个小曲边梯形。,第二步：近似,形面积之和,即,所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯,为底,的小矩形面积,近似代替小曲边梯形面积,第三步： 求和,第四步： 取极限,总结：,
2、上述四步中，由第一步知，,有关，,部分量的和，,可加性.,分成许多小区间，,的面积A这个量就相应地分成许多部分量，,如果把区间,具有,这种性质称为所求量A对区间,则所求,而A是所有,所求面积A这个量与,就是定积分的被积表达式,上述第二步中的近似表达式,可确定定积分的被积表达式,方法是：,于是有,再将区间,则,可写为,称,为面积A的微元，,于是,即,记为,一般地，当所求量F符合下列条件：,以上方法称为,这就给出了定积分的被积表达式,于是,“微元法”,微元法解决实际问题的一般步骤如下：,(1) 根据问题的具体情况，,选取一个变量,例如取,为积分变量，,并确定它的变化区间,以上步骤要熟练掌握!,如：
3、平面图形的面积；,引力和平均值;,液体的压力；,变力做功；,平面曲线的弧长；,体积；,注意 微元法解决实际问题的使用对象：,具有可加性的量,等等.,二、平面图形的面积,1）如果,则,S,S,即,（一）、在直角坐标系下的面积问题,如图,则,用微元法：,用微元法：,所围成的图形,例1 计算由抛物线,的面积A .,解,用微元法,确定积分区间：,解,方法一：选择 x 作积分变量,从而得到积分区间,区间上任取一小区,间,dA,面积微元,确定积分区间：,面积微元,方法二：选择 y 作积分变量,解得 y=0, y=1,从而得到积分区间,区间上任取一小区,间,1,y,y+dy,dA,解,求两曲线的交点,选 为
4、积分变量,选 x 作积分变量时，需求,两块面积,作面积微元 dA,dA,成的图形的面积.,解,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,注意：,如果曲边梯形的曲边,的方程为参数方程：,曲边梯形的面积,由上例可知：,解,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,注意：,面积微元,曲边扇形的面积,（二）、在极坐标系下的面积问题,所围成的图形，,称为曲边扇形.,解,用微元法,解,解,所围平面图形的面积A .,例2 求心形线,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,求双纽线,所围平面图形的面积.,2. 在极坐标系下的面积问题,三、 体积,旋转体,圆柱,圆锥,圆台,（一）、旋转体的体积,由一个平面图
5、形绕这个平面内一条,直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴,取横坐标x为积分变量,一般地,由连续曲线,直线,的立体,它的变化区间为,相应于,上任一小区,小曲边梯形,绕x轴旋转而成的薄片,近似地等于以f(x)为底面半径、dx为高的圆柱体的,体积，,即体积微元为,于是，在闭区间a,b上作定积分，,得所求旋转体,体积为,的体积,例,1,圆锥体的体积,解,直线 的方程为,利用旋转体体积公式，,知：,例2 计算椭圆,绕x轴旋转而形成的旋转体,的体积.,解,这个旋转体可以看成,以半个椭圆,绕x轴旋转而成的立体,取积分变量为x,利用旋转体体积公式，知：,所求的体积为,求星形线,绕,x,轴旋转,构成旋转体的
6、体积,.,解,由旋转体的体积公式，知：,直线,绕y轴旋转,体积为,熟记,一周而成的立体，,旋转一周而成的旋转体的,体积.,图形,解,（二）、平行截面面积为已知的立体的体积,设一立体位于 过点x=a, x=b 且垂直于 x 轴的两平面之间，,从而,用垂直于 x 轴的任一平面截此立体所得的截面积 A(x) 是 x 的已知函数，,取 x 为积分变量，在区间 a, b 上任取一小区间,过其端点作垂直 x 轴的平面，,作体积微元：,x , x+dx ，,以A(x) 为底，dx 为高作柱体，,用微元法：,解,取坐标系如图,底半圆方程为,截面面积,立体体积,而垂直于底面上一条固,定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积.,解,设截面面积为,取坐标系如图,底圆方程,解,设截面面积为,恰当的选择积分变量有助于简化积分运算.,小结,1. 在直角坐标系下的面积问题,注意：,2. 旋转体的体积,3.平行截面面积为已知的立体的体积,平面图形绕 轴旋转一周而成的立体的体积,平面图形绕 轴旋转一周而成的立体的体积,(掌握),(理解),求摆线,的一拱与,所围成的,x,轴,旋转构成旋转体的体积.,解,图形绕,
