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1、中考数学试题中规律探究性问题的研究湖北省潜江市老新镇徐李中学 伍玉平规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概况、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论。这类问题,因其独特的规律性和探究性,在考查学生分析问题、解决问题能力方面,具有很好的甄别功能,因此备受出题教师青睐。在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现,而且 花样百出 。常见的类型有：（ 1）新定义型（2）数列规律型;（3）数式规律型；（4）图形变化规律型;（5）点坐标变化规律型;（6）数形结合规律型;（7）阅读理解型等等。下面笔者筛选了2011 年中考试题，对这类问题中的七种类型进行
2、探讨。一新定义型例 1（2011 福建莆田）已知函数 ，其中 f(a)表示 x=a 时对应的函数值，如 , ， ， ， 则 _ 分析：根据函数得， f（1）= ， f（2）= ， f（3）= f（99）= ， f（100）= ；容易得出答案为 5151点评：本题考查了函数知识，能够根据所给的函数式正确表示出对应的函数值，找到题目的规律是解答的关键a1， 1 a1， 2 a1， 3 a1， 4 a1， 5a2， 1 a2， 2 a2， 3 a2， 4 a2， 5a3， 1 a3， 2 a3， 3 a3， 4 a3， 5例 2 （2011 北京）在右表中，我们把第 i 行第 j 列的数记为 ai，
3、j （其中 i，j 都是不大于5 的正整数），对于表中的每个数 ai，j ，规定如下：当 ij 时， ai，j =1；当ij 时， ai，j =0例如：当 i=2，j=1 时， ai，j =a2，1 =1按此规定， a1，3 =；表中的 25 个数中，共有个 1；计算 a1， 1?ai， 1+a1， 2?ai， 2+a1， 3?ai， 3+a1， 4?ai， 4+a1， 5?ai， 5的值为分析：由题意当 ij 时， ai，j =0当 ij 时，a i，j =1；由图表中可以很容易知道等于 1 的数有 15 个点评：本题考查了数字的变化，由题意当 ij 时， ai，j =0当 ij 时，ai，
4、j =1；仔细分析很简单的问题归纳总结：新定义型问题是指在试题中给出一个同学从未接触过的新概念，要求现学现用，主要考查学生的阅读理解能力，应变能力和创新能力。解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握教学中的基本概念和基本的性质。二数列规律型例 3 （2011 云南保山）下面是按一定规律排列的一列数：那么第 n 个数是_分析：根据题意，首先从各个数开始分析，n=1 时，分子：2=（1）2?21，分母：3=21+1； n=2 时，分子：4=（1） 3?22，分母：5=22+1；，即可推出第 n 个数为点评：本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求
5、出分子、分母与 n 的关系a4， 1 a4， 2 a4， 3 a4， 4 a4， 5a5， 1 a5， 2 a5， 3 a5， 4 a5， 5例 4. （2011 盐城）将 1、 、 、 按右侧方式排列若规定（m，n）表示第 m 排从左向右第 n 个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是分析：根据数的排列方法可知，第一排：1 个数，第二排 2 个数第三排3 个数，第四排 4 个数，第 m1 排有（ m1）个数，从第一排到（ m1）排共有：1+2+3+4+（ m 1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第 m 排第 n 个数到底是哪个数后再计算点评：此题主要考查了数
6、字的变化规律，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目找准变化规律是关键归纳总结：数列规律型问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题，主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式为主要内容。三数式规律型例 5（2011 湖南益阳）观察下列算式：132 2=34=1243 2=89=1354 2=1516=1 （1）请你按以上规律写出第 4 个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由分析：（1）根据的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出
7、结论；（3）一定成立利用整式的混合运算方法加以证明。点评：本题考查了整式的混合运算的运用关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行检验例 6（2011 广东湛江）若：A32=32=6，A 53=543=60，A 54=5432=120，A 64=6543=360，观察前面计算过程，寻找计算规律计算 A73= _,（直接写出计算结果），并比较 A103_A104（填“”或“”或“=”）分析：对于 Aab（ba）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是 a，依次少 1，最小因数是 a-b依此计算即可答案为：210；点评：本题注意找到 Aab（ba）中的最大因数，最小因数归纳总结：通常给定一
8、些代数式，等式或者不等式，猜想其中蕴含的规律，一般解法是先写出代数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中的不同数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系），找出各部分的特征，写出符合条件的格式。四图形变化规律型例 7（2011?德州）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图 2），依此规律继续拼下去（如图 3），则第 n 个图形的周长是（） A、2 n B、4 n C、2 n+1 D、2 n+2分析：从图 1 到图 3，周长分别为 4，8，16，由此即可得到通式，利用通式即
9、可求解。答案为：C点评：本题考查了图形的变化规律，属于中等题目，在解答本题时，需要先进行归纳推理，由特殊到一般的推理，然后得出一般性的结论即可例 8（2011 广东肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 分析：第 1 个图形是 233，第 2 个图形是 344，第 3 个图形是455，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）（n+2）=n 2+2n点评：首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去归纳总结：图形变化型问题主要是观察图形变
10、化过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律。这需要有敏锐的观察能力和计算能力。五点坐标变化规律型例 9（2011 江苏镇江常州）在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点分别为A（1，1） B（1，1） C（1，1） D（1，1）， y 轴上有一点P（0，2）作点 P 关于点 A 的对称点 P1，作 P1关于点 B 的对称点 P2，作点 P2关于点 C 的对称点 P3，作 P3关于点 D 的对称点 P4，作点 P4关于点 A 的对称点P5，作 P5关于点 B 的对称点 P6，按如此操作下去，则点 P2011的坐标为（）A（0，2） B（2，0）C（0，2） D（
11、2，0）分析：根据正方形的性质以及坐标变化得出对应点的坐标，再利用变化规律得出点 P2011的坐标与 P3坐标相同，即可得出答案 D点评：此题主要考查了坐标与图形的变化以及正方形的性质，根据图形的变化得出点 P2011的坐标与 P3坐标相同是解决问题的关键例 10（2011?贺州）如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点（1，1），第 2 次接着运动到点（2，0），第 3 次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第 2011 次运动后，动点 P 的坐标是 分析：根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为 1，0，2，0，
12、每 4 次一轮这一规律，进而求出即可答案为：（2011,2）点评：解决此题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律。归纳总结：此类题型主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键六数形结合规律型例 11 （2011 四川广安）如图所示，直线 OP 经过点P(4, )，过 x 轴上的点 l、3、5、7、9、11分别作 x 轴的垂线，与直线 OP 相交得到一组梯形其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为 S1、 S2、 S3Sn，则Sn关于 n 的函数关系式是_ 分析：先求出直线 op 解析式为：y=经观察可知每个小梯形的高一定为 2，面
13、积为 Sn 的梯形上底所在直线为 x=4n-3，上底长为 ，下底所在直线为 x=4n-1，上底长为 ，故梯形的面积Sn= (8n4) 点评：运用待定系数法可以确定一次函数的解析式，根据函数解析式，已知自变量 的值可求得函数 的值，从而可以确定每个梯形的上底与下底的长，根据梯形的面积公式可计算出每个梯形的面积，由此发现规律，根据规律可得Sn关于 n 的函数关系式例 12 （2011?恩施州）2002 年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图”若这四个全等的直角三角形有一个角为 30?/SPAN，顶点B1、B 2、B 3
14、、B n和 C1、C 2、C 3、C n分别在直线 y=- x+ +1 和 x 轴上，则第 n 个阴影正方形的面积为 分析：根据阴影正方形的边长与大正方形边长有个对应关系，因为 B1在直线上，所以可以求出 t，这个 t 是正方形边长，如果 B1N1=a，那么大正方形边长为 2a，阴影正方形边长为（ 1）a，可以得出是一系列的相似多边形，相似比为 2：3，即可得出第 n 个阴影正方形的面积答案为：2（ ） n点评：此题主要考查了勾股定理以及正方形的性质和一次函数的综合应用，得出相似多边形，相似比为 2：3，进而得出正方形面积是解决问题的关键归纳总结：直角坐标系中的规律探究问题，体现了“数”与“形
15、”的完美结合，展示了数学“美”， 这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力，解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”，还要有很强的“图形”意识。七阅读理解型例 13 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 （n 为正整数）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等.（1）根据上面的规律，写出 的展开式.（2）利用上面的规律计算：分析：（1）由（ab）ab，（ab） 2a 22abb 2，（ab） 3a 33a 2b3ab 2b 3可得 的各项展开式的系数除首尾两项都是 1 外，其余各项系数都等于（ab） n1 的相邻两个系数的和，由此可得（ab） 4的各项系数依次为 1、4、6、4、1；因此（ab
