《《线性代数》常见证明题型及常用思路(最新版-修订)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《线性代数》常见证明题型及常用思路(最新版-修订)（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数常见证明题型及常用思路 二、证明题二、证明题 题型 1关于线性相关性的证明中常用的结论 1, , m （1）设，然后根据题设条件，通过解方程组 11 0 mm 或其他手段：如果能证明必全为零，则线性无 1, , m 1, , m 关；如果能得到不全为零的使得等式成立，则 1, , m 1, , m 线性相关。 （2）线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表 1, , m 示。 （3）如果，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。 1, , n m F （ 4） 如 果 我 们 有 两 个 线 性 无 关 组 ， 11 , m W 且是同一个线性空间的两个子空间，要证 12 , t W 12
2、 ,W W 线性无关。这种情况下，有些时候我们设 11 , mt 。 1111 1111 0, , mmtt mmtt 根据题设条件往往能得到，进而由 0 11 , m W 的线性无关得到系数全为零。 12 , t W 题型题型 2. 关于欧氏空间常用结论关于欧氏空间常用结论 （1）内积的定义）内积的定义 （2）单位正交基的定义）单位正交基的定义 （3）设）设是单位正交基， 1 , n B 。则5 11 ( ,),(,) BnBn uxxvyy 11 ( , ) nn u vx yx y 题型题型 3. 关于矩阵的秩的证明中常用的结论关于矩阵的秩的证明中常用的结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩
3、）初等变换不改变矩阵的秩 （2）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩）乘可逆矩阵不改变矩阵的秩 （3）阶梯形的秩）阶梯形的秩 （4）几个公式（最好知道如何证明）：常用来证明关于秩的不等式 ()( )( ); ()min ( ), ( ); ( )()(); max ( ), ( )( ,)( )( ); ( )( ); ( )( )( )( )( ); 0( )( ) TT T T m n r ABr Ar B r ABr A r B r Ar Ar A A A r A r Br A Brr Ar B B A rr Ar B B A r Ar Brr Ar Br C CB ABr Ar Bn （5）利用分
4、块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩（常用来证明关于秩 的不等式） 例：证明：。 ()( )() m n r Ar Bnr AB 证： () ( )( ) 0 nn n EE nr ABrr ABAAB EB rr Ar B A 上面第二个等号是用左乘第一个分块矩阵的第一行，然后加到第A 二行所得；第三个等号是用又乘第二个分块矩阵的第一列，然后B 加到第二列所得。 （6）利用齐次线性方程组解的结构（） ， dim()( ) m n N Anr A 此方法也可以用来证明关于向量组的秩方面的的问题。 （7）利用向量组的秩与维数）利用向量组的秩与维数 主要是两个结论：（i）矩阵的秩=列秩=行秩 （ ii）
5、的 定 义 dimkerdimImdimker( )r 域 的维数 （8）利用行列式秩 （9）利用相抵标准形 题型题型 4. 关于可逆矩阵常用结论关于可逆矩阵常用结论 （1）结论）结论：可逆有唯一解。AAXb | 0A （2）结论）结论：可逆可逆。 ,( ) n A BMFAB （3）结论：可逆当且仅当可以写为初等矩阵的乘积。A （4）结论）结论：可逆当且仅当 0 不是它的特征值。A 题型题型 5. 关于矩阵对角化的常用结论关于矩阵对角化的常用结论 （1）结论： 相似于。A 1 . .BC stAC BC （2）结论：任一个复数域上的方阵都相似于一个若当形矩阵。 （3）特征值与特征向量的定义
6、（4）结论：是的特征值。A | 0EA （5）结论：属于不同特征值的特征向量线性无关。 （6）结论：特征多项式的常数项就是它的行列式，它的第 n-1 次项 的系数就是对角线上元素之和。 （7）结论：。 ( ) , ( )( )AXXh xF x h A XhX （8）结论：课本 P242 定理 7.8。 （9）结论：课本 P242 推论。 （10）结论：课本 P243 定理 7.10。 （11）结论：实对称矩阵一定可以通过正交矩阵对角化。 题型题型 6. 关于二次型的常用结论：关于二次型的常用结论： （1）定义：二次型的矩阵。 （2）定义：相合关系。 （3）实对称矩阵的相似标准形、相合标准形与相合规范形的区别。 （4）定义：课本 P263 定义 7.12 与 P269 定义 7.12 （5）实对称矩阵的正、负惯性指数与特征值的关系。 （6）结论：课本 P264 定理 7.17、7.18、7.19 （7）结论：课本 P269 定义下面的内容 重要建议：最好把课本第七章内容全部记住！
