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1、107第五章 矩阵的特征值与特征向量内容提要一、基本概念1. 是一个 阶方阵,如果存在一个数 和一个 维非零列向量 ,使得Ann成立,则称 为矩阵 的特征值，非零列向量 称为矩阵 的属于AA特征值 的特征向量.2. 为 阶方阵, 为未知量,则矩阵nnnnaaAE 21221121称为矩阵 的特征矩阵;其行列式 为 的 次多项式,称为矩AEf)(阵 的特征多项式; 称为矩阵 的特征方程.A03. 阶方阵 的主对角线上的元素的和称为 的迹,记作 ,即n )(Atr)(tr.naa214.对于 阶方阵 和 ,若存在 阶可逆方阵 ,使 成立,则称ABnPB1与 相似,记为 .满足:AB(1)自身性 即
2、 ;(2)对称性 若 ,则 ;(3)传递性 若 , ,则 .CA5.若矩阵 与对角阵相似,则称 可对角化.6.实矩阵 = ,如果 , ,称 为非负Anmija)(0ij )2,1;,21(njm A矩阵;如果 0, ,称 为正矩阵.ij );21n 7.如果 阶方阵 = ,可以经过一系列相同的行和列互换,化为nij)(,21AO其中 , 为子方阵(不一定同阶),则称 为可分解矩阵,否则称 为不可分1A2 A解的矩阵.1088.若 为 阶方阵 的特征值,则称n,21 A)(P|,|max|21n为 的最大特征值(或为 的谱半径).A二、几个结果1.特征值和特征向量的基本性质(1) 阶矩阵 与它的
3、转置矩阵 有相同的特征值(但特征向量一般不同);nTA(2)属于 的不同特征值的特征向量必定线性无关(但属于相同特征值的A特征向量不一定必相关);(3)属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量;(4)设 为 阶方阵 的特征值,则有n,21 A ,即 的特征值的和等于矩阵 的主na 21 A对角线的元素的和; .|21n推论 若矩阵 可逆 矩阵 的特征值全不为零.(5)若 为矩阵 的特征值, 是 的属于 的特征向量,则AA 是 的特征值( 为任意常数);kk 是 的特征值( 为正整数);m当 可逆时, 是 的特征值, 是 的特征值;1 * 是 的特征值,其中 为任一多项式.)
4、(0P(A)(xP注意 仍是矩阵 、 、 、 、 对应于特征值 、 、km1A*)(km、 、 的特征向量.1)(0若 为实对称矩阵,则 的所有特征值均为实数,且属于不同特征值)6*的特征向量彼此正交.2.相似矩阵的性质若 ,则AB(1) , , ;)(r)(BtAtrr(2) , , , , ;T1mk)(APB(3) ,即相似矩阵有相同的特征多项式,因而也有相同|E的特征值,但特征向量不一定相同.1093.矩阵可对角化的条件(1)n 阶方阵 可对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量;AAn(2) 阶方阵 有 个不同的特征值,则 一定可对角化;n实对称矩阵必可对角化,且存在正交矩阵
5、 ( ),使 .)3(* P1TAP1例题解析例 1 设矩阵 ,则 的对应于特征值 的特征向量0124AA2为( ).( ) ( ) ( ) ( )T0,BT,CT,1DT1,0解 根据定义,只需验证选项中的向量 是否满足 ,显然,零2向量不是矩阵 的特征向量,应排除( ).AA对于( ),因为,01201124所以, 是 的对应于 的特征向量,应选( ).T0,1AB例 2 设 为 阶矩阵,下述结论中正确的是( ).n( )矩阵 有 个不同的特征根A( )矩阵 与 有相同的特征值和特征向量BT( )矩阵 的特征向量 的线性组合 仍是 的特征向量C21,21cA( )矩阵 对应于不同特征值的特
6、征向量线性无关D解 对于选项( ),矩阵 有 个特征根(在复数范围内 ),但这些特征根中An可能有重根,故( )错.对于选项( ), 与 有相同的特征值,但是,对应的特征向量不一定相同,故BT( )错.对于选项( ),未说明 对应的特征值.如果 是对应于 的同一C21,21,A特征值 的特征向量,则当 不全为零时, 仍是 的对应于特征c1c值 的特征向量;如果 是对应于 的不同特征值 的特征向量,则21,A21不是 的特征向量( 为任意常数).关于这一结论的证21cA0,21明,见例 8.对于选项( )是矩阵特征值、特征向量的性质.综上分析,应选( ).DD例 3 如果 阶矩阵 任意一行的 个
7、元素之和都是 ,则 有一个特征nnaA110值( ).( ) ( ) ( )0 ( )AaBaCD1a解 在 中,把第二列到第 列都加到第一列上,则第一列有公因|En子 ,提出后可知 是 的因子,所以 是 的一个特征值.应选(|AA).例 4 设矩阵 ,则下面各矩阵中非奇异矩阵是( ).21( ) ( ) ( ) ( )AE2BECE2DE3解 矩阵 的特征多项式为,321故 的特征值为 , .31因为 ,0)(2AEAE即选项( )是奇异矩阵 ,而 1 不是 的特征值,必有 ,应选( ).A 0|B例 5 已知三阶方阵 的三个特征值为 1,-2,3,则 , 的特征1A值为 , 的特征值为 ,
8、 的特征值为 , 的特征值T E2为 .解 因为 ,由 ,知 与 有相同的特6|321| TAET征值,故 的特征值为 , , .若设 为 属于 的一个特征向量,则有TAX,于是有 , , ,从而推得XA1* Xk的特征值为 , 的特征值为 .矩阵多项式 的特征值为 ,从1| )(f)(f而可写出各自具体内容.应填 ; ; ; ; .63,21,2,3616,4例 6 设 是三阶方阵,并且 ,则A 0EAEAEA3= .解 由 ,可得 的特征值分别为 ,02E 2,1所以 ,于是 的特征值3)(1 36231分别为 ,故 ,应填 .76,3 )7(6A2例 7 设 4 阶方阵 满足条件 , ,
9、 ,其中 是 40AEET0A阶单位阵,则方阵 的伴随矩阵 的一个特征值为_.解 由 ,得 的一个特征值 .又由条件有)3(E3111,1624EAT.因为 ,所以 ,且知 可逆.0设 的属于特征值 的特征向量为 ,则3,3111 AAA又因为 ,所以 ,故 ,可知 的特0,4A征值为 .应填 .34例 8 设 是 阶矩阵 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别21,nA为 ,试证 : ( , ,任意常数)不是 的特征向量.21c012cA证 反证法.设 为 的对应于特征值 的特征向量,于是2c)()( 2121c又由已知,有 , , , .代入上式左边,得1A02A0,212 c因此,)(2
10、11c所以.0)(2c因 ,所以向量 线性无关,故211, ,01c)(其中 是不等于零的任意常数.,由此可得 , ,即 ,与已知条件矛盾!所以 不是1221 21c的特征向量.A例 9 求矩阵 的特征值和特征向量.0A解 的特征多项式,)1(21002E所以, 的特征值为 , .A132对于 ,解齐次线性方程组 ,1 OXAE)(112因,0101)(AE由此可得同解方程组,231x取 为自由未知量,令 ,得方程组的基础解系 .3x)1,0(1于是 的对应于特征值 的全部特征向量为 ( ,为任意常数).A1c对于 ,解齐次线性方程组 ,32)2(XAE因,0110)(E由此可得同解方程组 .
11、32x取自由未知量 分别为 , 可得方程组的基础解系31x)1,0()(32于是, 的对应于 的全部特征向量为 ( 为不全A332c2,为零的任意常数).注 1.求特征值、特征向量的基本方法:(1)计算矩阵 的特征多项式 ;AEf(2)求出特征方程 的全部根,即 的全部特征值;0f(3)对每一个特征值 ,求出 的一个基础解系 ,0OX)( rn,21则 的属于 的全部特征向量为 ,其中A0 rnkk21为不全为零的常数.rnk,212.这类计算题中,方程组 的系数矩阵常常出现零列(如此题AE中 的第一列).应注意:凡是零列所对应的变量应取作自由未知量 .例如,在)(E本题中求 的基础解系时,取
12、 为自由未知量.OX31,x例 10 ,(1)求 的特征值;(2)求 的特征值.12A 1AE解 的特征多项式113.1221rAE 120)5(2所以, 的特征值为 , , .5由特征值性质可知, 的特征值为 , , ,于是 的特征值为 ,1151AE2, .254例 11 设 有三个线性无关的特征向量,求 和 应满足的01yxA xy条件.解 的特征多项式为,01yxAE)1(2所以, 的特征值为 , .A23只要 有两个线性无关的特征向量即可,即矩阵 的秩等于 1.12 AE因为,E 10yx01xy只要满足 即可.0yx例 12 设向量 是矩阵 的逆矩阵 的特征向TK),(21A1A量
13、,试求常数 的值.分析 用特征值、特征向量的定义讨论.解 设 是 所属的特征值,则 , .即1,21KK由此,得方程组114,K)2(13其解为 , ; , .142于是,当 或 1 时, 是 的特征向量.1A例 13 设矩阵 ,其行列式 ,又 的伴随矩阵acb0351A有一个特征值 ,属于 的一个特征向量为 ,求 和A0 T),(cba,的值.0解 由题设知, .EA0于是有.A)(即有.01135acb得.1)( 20acb由此解得 , , .再代入 得 .103A2ca例 14 设 为 阶方阵,任一非零的 维向量都是 的特征向量,试证明:Ann,0即 为数量矩阵.A证 设 是 的第 行、
14、第 列元素,因单位坐标向量),21,(njiaAij ,1也是 的特征向量,设 是对应的特征值,则有n,2 n,21ii)(即, 001iniiiiaaA.,i115故 , ( ).这样iia0jij.nA0021因为 ( ),也是 的特征向量,设 为对应的特征值,则由jii ,jijiji )(),AA有 .因 线性无关,故 .于是可得0()(jiji ji.0例 15 设 均为 阶方阵,试证 与 有相同的特征值.BA,nAB证 如果矩阵 是不可逆的,则 ,所以0.由此可得,)1(0En.0BA即 与 都有特征值 0.AB当 不可逆,且 为 的任一非零特征值时,需证 也是 的特00BA征值.实际上,设 的对应于 的特征向量为 ,则0 )(.在上式两边左乘 ,得.)()(0BA令 ,则有 ,只需证明 .B0假设 ,于是 .
