《中考数学综合题专练：最值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学综合题专练：最值问题（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -中考综合题（六季-最值问题）（共七季）1如图，已知抛物线 )0(2acbxy的顶点坐标为 32,4，且与 y轴交于点)2,0(C，于 x轴于 A、 B两点（点 在点 B的左边）.（1）求抛物线的解析式及 、 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴 l上是否存在一点 P， 使 CA的值最小？若存在，求 P的最小值；若不存在，请说明理由；（3）在以 AB为直径的 M中， CE与 相切于点 E, 交 x轴于 D,求直线 E的解析式.解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 32)4(xay )0(a抛物线经过点 )2,0(C 3)4(2xa,解得 61a 61y，即 2342xy当 0时，
2、 02x，解得 1， 6 ),(A,B(2)存在由（1）知，抛物线的对称轴 l为 4x，因为 、 两点关于 对称，连接 CB交 l于点 P,则 BA,所以，BCPA的值最小. )0,6(， )2,(， 6O, 2 10O BCPA- 2 - CPA的最小值为 102.（3）连接 ME 是 的 切 线 C， 09 OD E由题意，得 2M, COD EM ,设 xOD，则 x4在 Rt C中, 22CDO. 24xx 3， )0,(设直线 CE的解析式为 bkxy)0(，直线 过 )2,(， ),3(D两点.则 023bk解得 24bk直线 CE的解析式为 3xy.2如图，抛物线 y=ax2+b
3、x+c（a0）的图象过点 C（0，1） ，顶点为 Q（2，3） ，点 D 在 x轴正半轴上，且 OD=OC（1）求直线 CD 的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E，求证：CEQCDO；- 3 -（4）在（3）的条件下，若点 P 是线段 QE 上的动点，点 F 是线段 OD 上的动点，问：在 P点和 F 点移动过程中，PCF 的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由解答：解：（1）C（0，1） ，OD=OC，D 点坐标为（1，0） 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b（k0） ，将 C（0
4、，1） ，D（1，0）代入得： ，解得：b=1，k=1，直线 CD 的解析式为：y=x+1（2）设抛物线的解析式为 y=a（x2） 2+3，将 C（0，1）代入得：1=a（2） 2+3，解得 a= y= （x2） 2+3= x2+2x+1（3）证明：由题意可知，ECD=45，OC=OD，且 OCOD，OCD 为等腰直角三角形，ODC=45，ECD=ODC，CEx 轴，则点 C、E 关于对称轴（直线 x=2）对称，点 E 的坐标为（4，1） 如答图所示，设对称轴（直线 x=2）与 CE 交于点 F，则 F（2，1） ，ME=CM=QM=2，QME 与QMC 均为等腰直角三角形，QEC=QCE=4
5、5又OCD 为等腰直角三角形，ODC=OCD=45，QEC=QCE=ODC=OCD=45，CEQCDO- 4 -（4）存在如答图所示，作点 C 关于直线 QE 的对称点 C，作点 C 关于 x 轴的对称点 C，连接CC，交 OD 于点 F，交 QE 于点 P，则PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF 的周长等于线段 CC的长度（证明如下：不妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F，在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P，连接 FC，FP，PC由轴对称的性质可知，PCF的周长=FC+FP+PC；而 FC+FP+PC是点 C，C之间的折线段，由两点之间线段最短可
6、知：FC+FP+PCCC，即PCF的周长大于PCE 的周长 ）如答图所示，连接 CE，C，C关于直线 QE 对称，QCE 为等腰直角三角形，QCE 为等腰直角三角形，CEC为等腰直角三角形，点 C的坐标为（4，5） ；C，C关于 x 轴对称，点 C的坐标为（1，0） 过点 C作 CNy 轴于点 N，则 NC=4，NC=4+1+1=6，在 RtCNC中，由勾股定理得：CC= = = 综上所述，在 P 点和 F 点移动过程中，PCF 的周长存在最小值，最小值为 - 5 -(1)、因为 y=ax+bx+c 经过 A(-4,3),B(2,0)两点，所以将 A、B 两点坐标带入到抛物线解析式可得16a-
7、4b+c=34a+2b+c=0有当 x=3 和 x=-3 时，抛物线对应点纵坐标相等，有9a+3b+c=9a-3b+c联立以上三式解得 a=1/4 b=0 c=-1所以抛物线的解析式为 y=1/4x-1过 AB 的直线可知斜率 k=（3-0）/（-4-2）=-1/2 截距等于 1所以 AB 的解析式为 y=-1/2x+1(2)、圆 o 的直径为根号下(-4)+(3)=5而圆心到直线 l 的距离为 3+2=5.即圆心到直线 l 的距离半径，直线 l 与A 相切.(3)、由题意，把 x=-1 代入 y=-1/2x+1，得 y=3/2，即 D（-1，3/2）.由（2）中点 A 到原点距离跟到直线 y
8、=-2 的距离相等，且当点 A 成为抛物线上一个动点时，仍然具有这样的性质，于是过点 D 作 DH直线 l 于 H，交抛物线于点 P，此时易得 DH 是 D点到 l 最短距离，点 P 坐标（-1，-3/4）此时四边形 PDOC 为梯形，面积为 17/8- 6 -解：由题意可知930421abc.解得1321abc.抛物线的表达式为 y= 23x.（2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1.点 M 的坐标为（0,1）.设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则13.kb0b.解得 k=13，b=1.直线 MA 的表达式为 y=13x+1.设点 D 的坐标为（ 2001,3xx），则点 F 的
9、坐标为（ 01,3x）.DF= 201()3= 204xx.当 02时，DF 的最大值为 3.此时 0153x，即点 D 的坐标为（ 35,24）.（3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似.在 RtMAO 中，AO=3MO,要使两个三角形相似，由题意可知，点 P 不可能在第一象限. 设点 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM,- 7 - 213()3m，即 2140m.解得 m=3（舍去）或 m=8.又3M0,故此时满足条件的点不存在. 当点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM, 21(3)，即 21
10、40.解得 m=3 或 m=8.此时点 P 的坐标为（8，,15）. 当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时,则3 21()33m，即 260m.解得 m=3（舍去）或 m=2.当 m=2 时， 205x.此时点 P 的坐标为（2， 53）.若 PN=3NA,则 1()3()3，即 70.解得 m=3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（10，,39）.综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（8，,15）、（2， 53）、（10，,39）.- 8 -5如图，在直角体系中，直线 AB 交 x 轴于点 A（5，0），交 y 轴于点 B，AO 是M 的直径，其半圆交 AB 于点 C，且 A
11、C=3。取 BO 的中点 D，连接 CD、MD 和 OC。（1）求证：CD 是M 的切线；（2）二次函数的图象经过点 D、M、A，其对称轴上有一动点 P，连接 PD、PM，求PDM 的周长最小时点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当PDM 的周长最小时，抛物线上是否存在点 Q，使16QAMPDSA？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）连结 CM，关键是OCA=OCB=90 度.(2)在直角三角形 OCA 中，AC=3，OA5，所以 OC=4,因此BAX 的正切值为 34，设直线 AB：bxy34。将 A（5，0）代入上式，得：- 9 -点 B(0， 320)，点 D（0， 31），点 M( 25,0)对称轴 415x。点 M 与点 A 关于对称轴成轴对称。因此直线 AD： 3102xy与对称轴 415x的交点就是点 P )65,41(。（3）二次函数为)(54所以16QAMPDMSSA)65213052(152h1将 25h代入二次函数，可得点 Q)125,803(或),4(
