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1、实验一 一元函数及其图形,实验目的 通过图形来认识函数，运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性，建立数形结合的思想,有关实验报告的说明,每章教学内容后安排一次大实验，大实验用汉字表示序号，如“实验一：一元函数及其图形” 每个大实验中包括若干个小实验，用阿拉伯数字表示序号，如“实验1” 每个小实验中又包含若干练习，如“练习3” 实验一中共有14个练习，实验报告就是有关这14个练习的解答。,有关实验报告的说明,实验报告以邮件的形式提交到： fling_ 邮件主题请按照如下格式： 学号后4位_姓名_实验编号 如：1001_张三_实验一 附件的名称同邮件主题！不按规范的邮件将不接受！ 邮件从自己的邮
2、箱直接发送，不要通过中转或网盘提交。,1.1 函数及其图形,Mathematica绘制区间a,b上函数y=f(x)的图形的命令为Plotf,x,a,b，详见教材P48 绘制参数方程x=f(t),y=g(t), a=t=b所表示的曲线的图形的命令为 ParametricPlotf,g,t,a,b parametric adj. 数物参(变) 数的,参(变)量的,1.1 函数及其图形,plot n.小块土地, 地区图, 图, 秘密计划(特指阴谋), (小说的)情节.结构 vt. 划分, 绘图, 密谋 vi. 密谋, 策划,1.1 函数及其图形,? Plot Plotf, x, xmin, xmax
3、 generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. Plotf1, f2, . , x, xmin, xmax plots several functions fi.,二维参数图,在二维平面内，有时无法将隐函数 化成显函数 的形式，所以无法使用Plot命令直接绘图。 在某些情况下，可以把平面上的 曲线化成： 的形式，其中变量t为方程式的参数，而这个方程式则被称为参数方程。 随着t的变化，可以在平面上描绘出曲线的轨迹，所得的曲线称为参数图。,参数方程,圆心在原点，半径为r的圆的方程为 x2+y2=r2 你能从其中得到圆上某点的
4、x坐标和y坐标间的普通方程吗？ y=SQRT(r2-x2) 绘制圆可用参数方程或专门的隐函数绘图函数(P16) x=cos(),y= sin(),二维参数图,Mathematica用ParametricPlot命令绘制二维参数图。它的使用形式有两种： (1) ParametricPlotx(t),y(t),t,下限,上限,可选项 绘制二维参数图 (2) ParametricPlotx1(t),y1(t),x2(t),y2(t), t,下限,上限 同时绘制多个参数图 绘制参数方程x=f(t),y=g(t), a=t=b所表示的曲线的图形的命令为 ParametricPlotf,g,t,a,b,x
5、坐标,y坐标,参数方程,对于Plot命令，第一个参数也可以是一个列表，但其含义与ParametricPlot是不同的 Plotfx,gx,x,a,b PlotSinx,Cosx,x,0,4 Pi,绘制多条曲线,如果用Plot函数画两个或多个函数的图形，可以用PlotStyle为每条曲线设定不同格式 把描述一条曲线的项放在一个表里作为PlotStyle值的一个子表。 例 分别用红、绿、蓝三种颜色画出的图形。 PlotSinx,Sin2x,Sin3x,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,1,0,RGBColor0,0,1,1.1 函数及其图形,实验1
6、 给定函数f(x)=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2) 画出f(x)在区间-4,4上的图形； 画出区间-4,4上f(x)与(sinx)f(x)的图形,1.1 函数及其图形,实验1 解(a)： fx_=(5+x2+x3+x4)/(5+5x+5x2); g1=Plotfx,x,-4,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0;,定义一个函数，以x为哑元,指名要设置Plot函数的具体参数,设定颜色为红色,函数f作为函数Plot的参数,x的范围,1.1 函数及其图形,解(b)： g2=PlotSinx fx,x,-4,4, PlotStyle-RGBColor0,1,0;Showg
7、1,g2; Show的用法见教材P88 有关颜色的设定见教材P93,同时显示g1，g2两个图形,设定颜色为绿色,1.1 函数及其图形,实验1 练习1 观察第二个图，解释为什么两个图形在此区域内有一个交点 练习2 画出基本初等函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数的图形，观察它们的特点(函数的名称见教材P27),1.1 函数及其图形,实验2 观察函数y=sin(1/x)的图形 PlotSin1/x,x,-1,1 解释函数在x=0附近震荡的原因 观察图形在x=0附近的最大最小值 练习3 分别作出以下函数的图形，观察函数的复合 (a) f(x)=Sqrt(1+x2)在区间-5,5 P
8、lotSqrt1+x2,x,-5,5,PlotStyle- Dashing0.02,0.01;,1.1 函数及其图形,实验2 练习3 分别作出以下函数的图形，观察函数的复合 (b) f(x)=sin cos sin x,在-Pi，Pi PlotSinCosSinx,x,-Pi,Pi; 注意函数图形的周期和值域 (c) f(x)=(tan sin x-sin tan x)/x2，在-5,5 Plot(TanSinx-SinTanx)/x2,x,-5,5,1.1 函数及其图形,实验2 练习3 (d)同时绘制多个函数的图形 f1(x)=exp(x),f2(x)=arctan x,f3(x)=exp(
9、arctanx)在-6,6 PlotExpx,ArcTanx,ExpArcTanx,x,-6,6, PlotPoints-100,1.1 函数及其图形,数学软件包做图时在选定区间插入15个点分别计算函数值做图，然后用光滑曲线将这些点连起来（注意：数学软件包有自动光滑功能） PlotPoint-50 表示将插入50个点进行计算。 如果绘制的参数图不平滑或有明显的误差，可以更改PlotPoints的值获得比较准确的图形。 ParametricPlotCos2t,Sin3t,t,0,2Pi ParametricPlotCos2t,Sin3t,t,0,2Pi,PlotPoints-200,1.1 函数
10、及其图形,实验2 改变PlotPoints的值和定义域，观察图形的变化。 PlotSin1/x,x,-1,1, PlotPoints-100,1.1 函数及其图形,实验3 参数方程的图形 绘制以下参数方程的图形 1、x(t)=2(cost)3,y(t)=2(sint)3 2、x(t)=2(t-sint),y(t)=2(1-cost) 解 x1t_=2Cost3;y1t_=2Sint3; ParametricPlotx1t,y1t,t,0,2Pi; x2t_=2(t-Sint);y2t_=2(1-Cost); ParametricPlotx2t,y2t,t,0,4Pi;,极坐标作图,极坐标方程也
11、可以转化为参数方程的形式从而在直角坐标系中用命令ParametricPlot绘图。 极坐标方程式可以写成 的形式，而极坐标上的点在x-y直角坐标系统上的坐标，根据几何关系可以写成 如果把ParametricPlotx,y,t,下限,上限命令中的x和y改成 ，则参数方程式的图形即为极坐标方程式的图形。,1.1 函数及其图形,实验3 练习4 极坐标图形的绘制：心形线、三叶玫瑰线 心形线 r1t_:=2(1-Cost);ParametricPlotr1t Cost, r1t Sint,t,0,2Pi,AspectRatio-Automatic 将r1的定义改为参数形式：a(1-b*Cost)，其中a
12、、b为实数。改变a、b的值，你能发现图形随a和b变化的规律吗？,1.1 函数及其图形,实验3 练习4 极坐标图形的绘制：心形线、三叶玫瑰线 三叶玫瑰线 rt_:=2Sin3t;ParametricPlotrtCost,rtSint,t,0,2Pi 注：这里的“:=”与“=”作用相同,极坐标绘图,也有专门的极坐标绘图命令： PolarPlotr_,t_,下限,上限,可选项 它与下述命令等价： ParametricPlotr*Cost,r*Sint,t,下限,上限,可选项 如前面的三叶玫瑰线 rt_:=2Sin3t; PolarPlotrt,t,0,2Pi,1.1 函数及其图形,实验4 用条件语句
13、绘制分段函数 分段函数可以用“/;”条件语句定义，格式为 fx_:=表达式/;条件,1.1 函数及其图形,实验4 用条件语句绘制分段函数 fx_:=x2Sin1/x/;x!=0; fx_:=0/;x=0; Plotfx, x,-1,1 注：此时只能用“:=”定义函数，区别见教材P38 尝试去掉x=0处的表达式，会有什么变化？,1.1 函数及其图形,实验5 列表的图形绘制 在很多实际问题中，并不知道函数的表达式，仅能测量到函数在某些点处的值，这些值可以列成数据表，称为函数的列表表示 例 分别画出坐标为(i,i2)，(i2,4i2+i3)，(i=1,2,10)的散点图，并画出折线图 有关Table
14、命令的用法见教材P62,1.1 函数及其图形,实验5 列表的图形绘制 ListPlot命令常用的可选项,1.1 函数及其图形,实验5 解 t1=Tablei2,i,10; (*定义一个列表*) g1=ListPlott1,PlotStyle-PointSize0.02; g2=ListPlott1,PlotJoined-True; Showg1,g2;,指定点的大小,在点之间用线相连,1.1 函数及其图形,实验5 解 t2=Tablei2,4i2+i3,i,10; g1=ListPlott2,PlotStyle-PointSize0.02; g2=ListPlott2,PlotJoined-T
15、rue; Showg1,g2;,把离散点按顺序连线,1.1 函数及其图形,实验5 练习5 运行以下语句，观察所得图形，体会参数PlotRange的作用 Plotx4+Sin10 x,x,0,5; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-All; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-1,1; Plotx4+Sin10 x,x,0,5,PlotRange-0,1,-1,2;,1.1 函数及其图形,实验5 练习6 利用函数的图形研究函数的性质。函数f(x)= sinx/x当x=0时没有定义，然而函数的图形在x=0点有很好的性质。 a、在区间-2,2上画
16、出函数的图形，并另外给出一个不具有这个性质的函数 b、当x很小时，f(x)接近于1，在同一坐标系中，画出f(x)和常函数x=0.9，并观察它们的图形 c、选择更小的x，重复b的操作,1.1 函数及其图形,注意绘图命令的工作方式 计算机显示器上的点是有限个数的 而定义在一个区间上的函数图形包含无限多点 绘图命令只能绘制区间内函数图形上有限的点，再将点连成线 可不可以设置绘图区间为(-,+ )? 可不可以设置绘图区间为一个开区间(0,1?,1.1 函数及其图形,实验5 练习7 a、在区间-1.3,2.5上画出函数f(x)=1/(x-1)的图形，并观察所得的图形，哪一部分是正确的，哪一部分是错误的？ b、尽可能找出不正确的部分，并用以下语句在同一区间画出f(x)的图形： Plot1/(1-x),x,-1.3,2.5,PlotRange-0.95,1.05,All;,1.1 函数及其图形,练习7 a、在区间-1.3,2.5上画出函数f(x)=1/(x-1)的图形，并观察所得的图形，哪一部分是
