《福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第三章第一节 导数的概念、几何意义及运算课件 文 新人教A》由会员分享,可在线阅读,更多相关《福建省南平市光泽二中高三数学一轮复习 第三章第一节 导数的概念、几何意义及运算课件 文 新人教A(45页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节:导数的概念、几何意义及运算,一、导数的几何意义,函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点p(x0,y0) 处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地, 切线方程为yy0f(x0)(xx0),二、基本初等函数的导数公式,三、导数的运算法则,1f(x)g(x)f(x)g(x); 2f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);,1f(x)与f(x0)的区别与联系,f(x)与f(x0)是不同的,f(x)是一个函数(导函数简称导数), f(x0)是常数(x0为常数);f(x0)是函数f(x)在点xx0处的函数值,准确地理解曲线的切线,需
2、注意的两个方面: (1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征,直线与曲线只 有1个公共点,则直线不一定是曲线的切线,如yx2,直线x1; 同样,直线是曲线的切线,则直线可能与曲线有2个以上的交点 (2)曲线未必在其切线的“同侧”,如直线y0虽然“穿过”曲线 yx3,但它是曲线yx3在点(0,0)处的切线,2曲线的切线,1一质点沿直线运动,如果始点起经过t秒后的位移为st3t2 2t,那么速度为零的时刻是(),A0秒B1秒末 C2秒末 D1秒末和2秒末,解析:位移对时间的导数是瞬时速度, st23t2.令s0得t1或t2.,答案:D,2(教材改编题)与直线x2y10垂直的曲线yx2的切线方程
3、是 (),A2xy30 B2xy30 C2xy10 D2xy10,解析:令y2x2,得x1,即切点为(1,1),故所求切线方程为 y12(x1),即2xy10.,答案:D,3(2010年全国卷)若曲线yx2axb在点(0,b)处的切线方程 是xy10,则(),Aa1,b1 Ba1,b1 Ca1,b1 Da1,b1,解析:y2xa,斜率ka1, 又(0,b)在直线xy10上, 0b10, b1.,答案:A,4(教材改编题)若f(x)xnex,则f(1)_.,解析:f(x)nxn1exxnex(nx)xn1ex f(1)(n1)e.,答案:(n1)e,5(文)已知函数f(x) sinx,且f(1)
4、2,则a的值为_,解析:f(x)acosx,f(1)acosa2.,答案:2,(理)(2009年湖北卷)已知函数f(x)f( )cosxsinx,则f( )的值 为_,解析:f(x)f( )cosxsinx,f(x)f( )sinxcosx f( )f( ) ,f( ) 1. 故f( )( 1) 1.,答案:1,用导数的定义求函数的导数,例1 利用导数的定义求下列函数的导数;,导 数 的 计 算,方法技巧:(1)求函数导数的一般步骤: 将y=f(x)变形为能用公式、法则求导的函数的和、差、积、商;利用公式、法则求导;整理得结果.即遵循先化简,再求导的原则,化简时必须注意变换的等价性,避免不必要
5、的运算失误.,(2)(理)复合函数的导数:yx=yx 一般按以下三个步骤进行: (1)适当选定中间变量,正确分解复合关系; (2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导);(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数. 也就是说,首先,选定中间变量,分解复合关系,说明函数关系y=f(),=f(x);然后将已知函数对中间变量求导(y),中间变量对自变量求导(x);最后求yux,并将中间变量代回为自变量的函数.整个过程可简记为分解求导回代.,导 数 有 几 何 意 义,方法技巧:曲线的切线的求法. 若已知曲线过点P(x0,y0),求曲线的切线则需分点P(x0,y0)是切点和不是切点两种
6、情况求解. (1)点P(x0,y0)是切点的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0). (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P(x1,y1)(y1=f(x1); 第二步:写出过点P(x1,y1)的切线方程: y-y1=f(x1)(x-x1);,第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-y1=f(x1)(x-x1)可得过点p(x0,y0)的切线方程.,导 数 几 何 意 义 的 综 合 问 题,a , a(, 0),答案:(,0),方法技巧:用导数的几何意义,求曲线在定点的切线的斜率,再与其他知识方法结合
7、起来,问题便会迎刃而解.,【例1】(2009年全国卷)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切,则a的值为(),A1B2 C1 D2,【解析】设切点P(x0,y0), 则y0 x01,y0ln(x0a), 又y|xx01, x0a1, y00,x01. a2.故选B.,【答案】B,【例2】(福建省漳州市2011届高三适应性考试)函数ykxb, 其中k,b(k0)是常数,其图象是一条直线,称这个函数为线性函 数对于非线性可导函数,在点x0附近一点x的函数值f(x),可以用 如下方法求其近似代替值:f(x)f(x0)f(x0)(xx0)利用这一方 法,m 的近似代替值(),A小于m B等于m C大于
8、m D与m的大小有关,无法确定,【解析】函数f( )的图象上凸,曲线上任一点的切线都在 曲线的上方,所以切线上的函数值(近似代替值)都大于曲线上的函数 值,m 的近似代替值f(4.008)f(4)f(4)(4.0084)m.,【答案】C,类型导数的几何意义不清致误,【例】求曲线yx33x25过点M(1,1)的切线方程,【正解】yx33x25,y3x26x. 设切点为P(x0,y0),则y|xx03x6x0,曲线在点P处的切线方程 为yy0(3x6x0)(xx0) 又切线过点M(1,1),则1y0(3x6x0)(1x0), 整理得y03x3x6x01. 点P(x0,y0)在曲线上,y0 x3x5
9、. x3x53x3x6x01,,整理得x3x020,即(x01)2(x02)0. 解得x01,或x02,切点为P(1,1),或P(2,1),故 所求的切线方程为9xy100,或y1.,【分析】本题在求解时极易出现以下解法:,yx33x25,y3x26x,且y|x19,故所求的切线方程 为y19(x1),即,9xy100.,求过某一点的曲线的切线方程,首先应先判断该点是否在曲线上 曲线在点M处的切线与过点M的曲线的切线是两个不同的概念, 曲线在点M处的切线是指切点在M处的切线,曲线过点M的切线可 能存在切点不在M处的另一条切线,一、选择题,1已知函数y2x21的图象上一点(1,1)及附近一点(1
10、x,1y), 则 等于(),A6B4x C2x D42x,解析:yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x. 2x4.,答案:D,2若质点A按规律s3t2运动,则在t3时的瞬时速度为(),A14 B16 C18 D20,解析:s3t2,s6t,s|t318.,答案:C,3(2009年辽宁卷)曲线y 在点(1,1)处的切线方程为(),Ayx2 By3x2 Cy2x3 Dy2x1,解析:f(1)1,f(x) , 所以f(1)2.所以切线 方程为y12(x1),即y2x1.,答案:D,4(文)已知曲线y x22上一点P(1, ),则过点P的切线的 倾斜角为(),A30 B45 C60 D75
11、,解析:P(1, )在曲线上,且yx,y|x11即ktan1. 45.,答案:B,(理)若曲线yx32ax22ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角, 则整数a的取值集合是(),Aa|0a B1 C1,2 D0,1,解析:yx32ax22ax, ky3x24ax2a.又切线的倾斜角都是锐角, k0恒成立,16a224a0.0a . 又aZ, a1.,答案:B,5(文)(2009年安徽卷)已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x2 8x8,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程是(),Ay2x1 Byx Cy3x2 Dy2x3,解析:法一:f(x)2f(2x)x28x8, f(x)
12、2f(2x)2x8,f(1)2f(1)28,f(1)2. 又f(1)1.切线方程为y12(x1),即y2x1.,法二:先求f(x)的解析式以2x代条件中的x,有f(2x)2f(x) (2x)28(2x)8 2f(x)x24x4代入已知等式,得f(x)4f(x)2x28x8x28x8. f(x)x2,f(x)2x.f(x)|x12.又f(1)1, 在点(1,f(1)处的切线方程为y12(x1),即2xy10.,答案:A,(理)(2010年山东泰安一模)已知曲线C:y2x2,点A(0,2)及 点B(3,a),从点A观察点B,要实现不被曲线C挡住,则实数a的 取值范围是(),A(4,) B(,4)
13、C(10,) D(,10),解析:在曲线C:y2x2上取一点D(x0,2x)(x00), y2x2,y4x,y|xx04x0. 令kAD 4x0,得x01,此时D(1,2),kAD 4. 直线AD的方程为y4x2. 要实现不被曲线C挡住,则实数a43210. 即实数a的取值范围是(,10),答案:D,二、填空题,6曲线f(x)sinxex2在x0处的切线方程为_,解析:f(x)cosxex,f(0)2.又f(0)3,在点(0,3)处的切 线方程为y32(x0),即2xy30.,答案:2xy30,7已知函数f(x)log2xalnx,且f(1)0,则a的值为_,解析:f(x) log2e ,f(
14、1)log2ea,由f(1)0,得 log2ea0,alog2e.,答案:log2e,8函数f(x)的导函数为f(x),且f(x)3x22xf(2), 则f(5)_.,解析:f(x)3x22xf(2),f(x)6x2f(2), f(2)122f(2),f(2)12. f(5)652f(2)302(12)6.,答案:6,9(南京市2010届高三第三次模型考试)设直线y3xb是曲线 yx33x2的一条切线,则实数b的值是_,解析:y3x26x,又直线y3xb是曲线yx33x2的一条 切线,3x26x3,解得x1,切点为(1,2), 同时该切点也在直线y3xb上,代入得b1.,答案:1,三、解答题,
15、10在曲线yx2上找一点,使得曲线yx2在该点的切线满足下列条件:,(1)平行于直线y4x5; (2)垂直于直线2x6y50; (3)与x轴正方向成135角,解:y2x,设P(x0,y0)是满足条件的点,则(1)因为切线与直线 y4x5平行,所以2x04,即x02,此时y04,所以P(2,4),(2)因为切线与直线2x6y50垂直,所以2x03,x0 , 此时y0 ,所以P( , ),(3)因为切线与x轴正方向成135角,所以其斜率为1,即2x0 1,x0 ,此时y0 ,所以P( , ),11(文)(2010年广州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和 yax 2 x9都相切,求a的值
16、,解:设过点(1,0)的直线与yx3相切于点(x0,x),,则切线方程为yx3x(xx0), 即y3xx2x.又点(1,0)在切线上,3x2x0, x00,或x0 . 当x00时,由y0与y ax2x9相切可得a . 当x0时,由y x 与yax2 x9相切,设切点为(x1,y1), y|xx12ax1 , 2ax1 ,x1 ,y1 9. 又点(x1,y1)在切线y 上,由此解得a1. 综上,a1,或a .,(理)设函数f(x)lnx,g(x)ax ,函数f(x)的图象与x轴的交点 也在函数g(x)的图象上,且在此点有公共切线,(1)求a、b的值; (2)对任意x0,试比较f(x)与g(x)的大小,解:(1)f(x)lnx的图象与x轴的交点坐标是(1,0)依题意,得g(1)