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1、.,指数、对数指数函数、对数函数,太和二中 高一2班,.,【复习引入】,在初中,我们学习过的整数指数幂是怎样定义的？ 即an=? a0=? a-n=?,a0=,an=,1,a-n=,( a0,nN*).,（a0）,(nN*),答：,.,(2)整数指数幂的运算性质是：,aman=am+n(m,nZ),(am)n=amn(m,nZ)；,(ab)n=an bn(nZ).,注意：,-都要遵守零指数幂、负整数指数幂的 底数不能等于0的规定.,【练一练】,1. 回答下列各题（口答）：, a2a3=, (b4)2=, (m n)3=.,a5,b8,m3 n3,.,1.如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a
2、的 ； 2.如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的 .,一般地，如果一个数的n（n1,nN*）次方等于a， 那么这个数又叫做什么呢？,叫做a的n次方根,平方根,立方根,平方根,立方根,例如，若32=9，则3是9的 ； 若53=125，则5是125的 .,答：,【想一想】,.,1.根式的概念,一般地，如果一个数的n 次方（n1,nN*）等于a， 那么这个数叫做a的n次方根.,式子 叫做根式，其中 n叫做根指数，a叫做被开方数,注意：,若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1,且nN*.,也就是说：,当n 是奇数时，实数a的n次方根用符号 表示；,当n 是偶数时，正数a的n次方根用符号 表示
3、.,.,【练一练】,1、填空：,(1) 27的3次方根表示为 ，,(2) 32的5次方根表示为 ,(3) a6的3次方根表示为 ；,(4) 16的4次方根表示为 ，,.,概念的理解,（1）、25的平方根是_ （2）、27的立方根是_ （3）、-32的五次方根是_ （4）、16的四次方根是_ （5）、a6的三次方根是_ （6）、0的七次方根是_,.,方根的性质,奇次方根的性质：,在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数； 负数的奇次方根是一个负数.,偶次方根的性质：,在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义.,0的任何次方根都是0，记作 =0.,.,例1、求
4、下列各式的值,问题： （1）、 的含义是什么？结果呢？ （2）、 的含义是什么？结果呢？,.,三、根式的运算性质：,.,用语言叙述上面三个公式：,非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值. 若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.,.,( )3= ，( )5= , ( )2 =,4,3,|-3| =3,-2,2,27,-32,【课堂练习】,1、下列根式的值为：,.,2、求下列各式的值：,|-10| 10,|3- |
5、 = -3,|a-b| =a-b(ab),解：,.,3.化简下列各式： ,2,9,.,4.计算,.,解：当n是奇数时，原式=（a-b）+（a+b）=2a. 当n是偶数时,原式=,所以,n是奇数,n是偶数,.,5。化简,.,6。求值,.,. 当n为任意正整数时，( )n=a; . 当n为奇数时， =a； 当n为偶数时， =|a|= ; . （a0）.,【小结】,.,作业：,2：已知:3a=2，3b=5.则32a-b=_,1：,3：化简：,4：求 的值,.,3.3.2指数函数,.,规定正数的正分数指数幂的意义：,规定正数的负分数指数幂的意义：,0的正数次幂等于0， 0的负数次幂无意义，0的0次幂无
6、意义。,., aman=am+n (a0,m,nR)； (am)n=amn (a0,m,nR)； (ab)n=an bn (a0,b0,nR); aman=am-n (a0,m,nR)； (a/b)n=an/bn (a0,b0,且nR).,性质：,.,题型一,将根式转化分数指数幂的形式。（a0,b0),1，当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2、对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。,题型二,分数指数幂 求值，,关键先求a的n次方根,.,题型三,分数指数幂的运算1、系数先放在起运算。2、同底数幂 进行运算，乘的指数相加，除的指数相减。,.,2.,100,.,例4 计算
7、,例5 计算,.,题型四,根式运算，先把每个根式用分数指数幂表示；题目便转化为 分数指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也可以用分数指数幂表示。 但同一结果中不能既有根式又有分数指数幂，并且分 母中不能含有负分数指数幂。,.,例1：化简,2。,1。,.,例2：化简,1。,2。,.,计算,1。,2。,.,题型五,利用代数公式进行化简：,.,例1：化简,.,例2：,.,23,.,7,18,.,3、化简：,解：原式 =,.,.,4、已知 x 3 + 1 = a ，求 a 2 2ax 3 + x 6 的值。,解法一：,a 2 2ax 3 + x 6,= ( x 3 + 1 ) 2 2( x 3
8、+ 1 )x 3 + x 6,= x 6 + 2x 3 + 1 2 x 6 2x 3 + x 6,= 1,解法二：,由 x 3 + 1 = a 得,x 3 = a 1,x 6 = ( x 3 ) 2 = ( a 1 ) 2,.,故 原式 = 1,由题 a x 3 = 1,原式 = ( a x 3 ) 2,解法3：,= 1,= a 2 2a 2 + 2a + a 2 2a + 1,= a 2 2a( a 1 ) + ( a 1 ) 2,a 2 2ax 3 + x 6,.,学生练习： 化简与求值： （1） （2）( a 2 2 + a 2 ) ( a 2 a 2 ) （3）已知 ，求 的值,.,题
9、型六,分数指数幂或根式中x的定义域问题。,例：求下列各式中x的范围,.,测试题,.,1. 已知 那么x等于 （A）8 （B） （C） （D）,2.对任意实数a,下列等式正确的是 （A） （B） （C） （D）,3.,.,6.已知 ,其中a0， , 将下列各式分别用u表示出来： （1） （2）,5.,4.,.,9. 设 求 的值,10. 已知 且 a0， 求 的值,7.,8.,.,11.,12.,.,对数,.,学习目标,什么是对数? 学会指数和对数互化. 对数的公式有那些? 利用对数的公式计算,.,引例:假设1995年我国的国民生产总值为 1亿元， 如每年平均增长8%，那么经过多少年国民 生产总
10、值是1995年的2倍？,.,对数的概念:,一般地，如果a（a0且a1）的b次幂等于N, 就是a b=N，那么数 b叫做a为底 N的对数， 记作log a N=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。,.,性质:,(1)负数与零没有对数;,(2)1的对数是0;即loga1=0,(3)底数的对数是1,即log a a=1,(4),.,两个特殊对数：,以无理数e（e=2.71828 )为底的对数叫做自然对数，N的自然对数记作lnN.,以10为底的对数叫做常用对数，即N的常用对数记作lgN；,.,指数式与对数式的互化:,例1:将下列指数式写成对数式：,（1） 54=625 （2） ； （3）3 a =27
11、； （4） ,例2将下列对数式写成指数式： （1） ； （2） ； （3） ；（4）,.,例3:求下列各式的值:,(1)log749=_ (2)lg100=_ (3)log0.351=_ (4) (5)log=_ (6)lne=_ (8) (9)log2(sin300)=_,.,积、商、幂的对数运算法则：,如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：,.,证明：设,由对数的定义可以得：,MN=,即证得,.,上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数 式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形； 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。,简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”,有时逆向运用公
12、式,真数的取值范围必须是,对公式容易错误记忆，要特别注意：,.,其他重要公式1:,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,.,其他重要公式2:,证明：设,由对数的定义可以得：,即证得,这个公式叫做换底公式,.,其他重要公式3:,证明:由换底公式,取以b为底的对数得：,还可以变形,得,.,例4 计算,（1）,（2）,讲解范例,解 :,=5+14=19,解 :,.,讲解范例,（3）,解 :,=3,.,例5,讲解范例,解（1）,解（2）,用,表示下列各式：,.,（1）,例6计算：,讲解范例,解法一：,解法二：,.,（2）,例3计算：,讲解范例,解：,.,练习,（1）,（4）,（3）,（2）,求下列各
13、式的值：,.,对数定义：一般地，如果a（a0且a1）的b次幂等于N, 就是a b=N，那么数 b叫做a为底 N的对数， 记作log a N=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。,性质:,小结:,.,积、商、幂的对数运算法则：,如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：,其他重要公式:,.,预习提纲,对数函数? 对数函数的图象? 对数函数的性质?,.,对数函数,.,一定义：函数 y= logax(a0,a,定义域是(0,+，叫对数函数。,.,判断：以下函数是对数函数的是 （ ） A y=log2(3x-2) B y=log(x-1)x C y=log1/3x2 D y=lnx,.,.,.,.,.
14、,.,因为指数函数y=ax (0a1)与对数函数,.,X,Y,O,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,7,Y=log2x,Y=X,Y=2x,-1,-1,-2,.,O,X,Y,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,-1,-2,-3,Y=log2x,Y=lgx,Y=log1/2x,.,三.对数函数的性质:,观察图象,总结性质.,.,a1,0a1,图象,性质,x0,x=1时,y=0,x1时,y0 0x1时,y0,00 x1时,y0,在(0,+上是增函数,在(0,+上是减函数,.,其它性质：,（1）随着底数a的增大，图象在同一象限内的位置按顺时针转。,（2）y=logax与y=log1/ax的图象关于x轴对称。,（3）对数函数是非奇非偶函数。,.,例一:求下列函数的定义域:,(1) y=logax2 (2) y=loga(4-x),解:,(1)因为x20,所以x,即函数y=logax2的定义域为,- (0,+,(2)因为 4-x0,所以x4,即函数y=loga(4-x)的定义域为,(-4),(3) y=log(x-1)(3-x) (4) y=log0.5(4x-3),.,(3) 因为 3-x0 x-10 x-1,所以 1x3,x2即函数y=log(x-1)(3-x)的定义域为,(1,2),
