《（白）（哈工大教材）Y量子物理第24章课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（白）（哈工大教材）Y量子物理第24章课件（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 波函数(量子力学基本原理之一）,1. 波函数的物理意义 (玻恩统计诠释),波函数 本身没有直接的物理意义。它并不像经典波那样代表什么实在的物理量的波动，而其模方,表示 t 时刻微观粒子在空间 点出现的相对概率密度,一个微观客体在时刻 t 状态,用波函数 (一般是复函数 ) 完全描述.,为了定量描述微观粒子的状态“量子力学”引入了,第24章 量子力学初步,微观粒子具有波粒二象性,24-1 波函数及其统计解释,单色平面波,复数形式,一个沿x方向作匀速直线运动的自由粒子(能量为E,动量为px)具有波粒二象性：,由德布罗依关系式,代入上式,（三维）自由粒子波函数,例,2. 统计诠释及其它物理条件对
2、波函数提出的要求,1）. 空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值,式中,2）. 粒子在空间各点的概率的总和为 1 - 波函数归一化条件,0 是任意有限体积元,满足该条件为归一化波函数.,3）. 要求,单值,一般情况下, 物理上要求波函数是有限，连续和单值的 - 波函数标准化条件,只打开a,只打开 b,两缝同时打开,干涉项,波函数可以相加，其概率不能相加,波函数遵从叠加原理: 实验证实, 以双缝实验为例,3. 叠加原理；如果 都是体系的可能状态，那么它的线性叠加，也是这个体系的一个可能态。,1). 微观粒子的状态用波函数描述，与经典物理不同，波函数没有对应的物理量，它不能测量，一般是复数.
3、例如：一维自由粒子的波函数,t时刻，在 附近， 内，找到粒子的概率,玻恩统计诠释,波函数 是概率振幅，简称 概率幅,描述同一个状态，因为，对于概率分布来说，重要的是相对概率分布。,2). 波函数的物理意义：,小结： 波函数,3). 概率波 -量子力学是一种统计理论与经典决定论不同,（存在长时期的争沦）,4). 波函数应满足的标准条件（物理要求）,以后会看到，有些情况下能量量子化就是源于这些条件的限制,连续性 有限性 单值性 归一化条件.,5). 波函数遵从叠加原理: 实验证实,波函数（概率幅）可以相加 概率不能相加,问题的提出：,薛定谔,你能不能给我们 讲一讲De Broglie的那篇 学位论
4、文呢？,瑞士联邦工业大学,一月以后：薛定谔 向大家介绍了德布罗 意的论文。,你这种谈论太幼稚，作为 索末菲的门徒，都知道： 处理波要有一个波动方程 才行啦！,24-3 薛定谔方程 (量子力学基本原理之二）,瑞士联邦工业大学,德 拜,又过了几个星期,薛 定 谔,我的同行提出，要有一个 波动方程，今天我找到了 一个：,薛定谔： 方程 能解很多好东西。 若问这是为什么？ 谁也不知道！,散会后：,以自由粒子为例建立 Schrding方程,原来薛定谔方程是利用 经典物理，用类比的办 法得到的，或者说开始 只不过是一个假定，尔 后为实验证实。我们从 特例出发，推广得出这 个方程。,（非相对论条件下讨论）,
5、一个沿 x 方向运动的自由粒子,可用一维平面波函数描述,经典波动微分方程,消去,对于自由粒子,原则: (一) 波函数满足叠加原理,(二) 方程应具有粒子各种状态都能满足的普 适性质.,（非相对论）,- 自由粒子的薛定谔方程,推广到三维：,一般情况：,薛定谔方程普遍形式,（非相对论）,1 薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设；,3 薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程； 知道初始时刻波函数，就可以确定以后任何时刻的波函数.,讨论:,2 薛定谔方程的解满足态叠加原理,若 和 是薛定谔方程的解，,则 也是薛定谔方程的解。,这是因为薛定谔方程是线性偏微分方程。,4 薛定谔方程中含有虚数 i,所以它的解
6、 必然是复数， 只有 的模方才有直接的物理意义。,5 一般情况下, 物理上要求波函数满足有限，连续，单值的波函数标准化条件和归一化条件,定态薛定谔方程,则薛定谔方程的一般表达式,设一个特解,代入薛定谔方程，得：,令,左边:,右边:,- 定态薛定谔方程,常数 E 就是能量,与自由粒子波函数对比可知，,讨论:,只有某些 E 值对应的解才是物理上可接受的 - 能量本征值,2. 能量本征值所对应的波函数称为能量本征函数.,3. 这一方程又称为能量本征值方程。,定态薛定谔方程：,定态:能量取确定值的状态,定态波函数,4. 这一波函数所描述的量子态称为定态。,概率密度分布,不随时间变化,一维定态薛定谔方程
7、：,例如：对自由粒子，U（x） = 0，一维情况下，上式成为：,其解为,这正是自由粒子的波函数，E 正是粒子的能量，p正是粒子的动量。,其中,势阱内,则,其通解,势阱外,（有限条件）,a,24-4 一维定态问题,一 一维无限深方势阱,式中 A, 为待定系数,与本征值 En 对应本征函数,（单值，连续条件）,（归一化条件）,阱外 x0, xa,势阱内,x正向波,x反向波,讨论:,(1) 无限深方势阱中粒子能量量子化 n是量子数，En是能量本征值，又称能级.,(2) 无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀 n越大,能级间隔越大。,其余称为激发态,(3) 势阱中粒子波函数是驻波 基态除 x=
8、0, x=a 无节点. 第一激发态有一个节点, k 激发态有 k=n-1个节点.,(4) 概率密度分布不均匀,当 n 时过渡到经典力学,对应原理,在某些极限条件下,量子规律可以转化为经典规律,量子物理的对应原理,相邻能级间隔,能级的相对间隔,能量连续,量子规律转化为经典规律,例,二 一维方势垒 隧道效应,1. 散射问题和势垒穿透,定态问题有两种态,1.束缚态： (一维 ) x时 ,(x)0，EEp(x), 离散能量,2.散射态： (一维 ) x 时, (x)0， 能量连续,对散射问题,已知粒子能量 E, 求解定态薛定谔方程解. - 粒子受势场作用被散射到个方向去的概率,2 .势垒 隧道效应,考
9、虑 EU0 的情况 研究穿透问题,U0 0 ,U(x),x,0,a,U0,上述各方程的解,入射 反射,衰减,入射 (反射),无反射,求 A1 ,B1 ,A2,B2,A3.,入射波的概率密度,透射波的概率密度,连续条件,由波函数的标准条件：,穿透系数,U(x),x,0,a,U0,考虑,前面设,讨论(1) 设粒子为 e U0-E=1ev 则当 a = 2x10-10m D 0.44 a = 5x10-10 m D O.O16 质子 U0-E = 1ev a = 2x10-10 m D 2x10-38,当 m, U0-E 及 a 为微观尺度时,(特别对于 e )穿透系数有一定值. 若为宏观尺度 D,
10、势垒穿透(隧道效应)是一种微观现象,是粒子波动性的表现 .,穿透系数,0,(2) 从经典力学的观点看,在势垒区,动能为负值,动量将为虚数, (经典理论不允许,称隧道效应佯缪).,佯缪不存在：能量不能分离成动能和势能(测不准关系),经典理论不适用于微观现象.,(3) 当 E U 或E U 经典 粒子一定越过或不越过势垒 量子力学 有透射与反射,势垒穿透隧道效应：,粒子将部分被势垒反射, 部分穿透势垒, - 隧道效应或势垒贯穿,隧道特征长度,隧道效应已完全被实验证实, 并制成扫描隧道显微镜,例,对电子计算,m =9.110-31kg,则对不同的势垒宽度a,D的数量级,扫描隧道显微镜年由 G.Bin
11、ig 和H.Rohrer 首先研制成功,针尖非常尖锐,接近原子尺寸. 针尖与表面接近到零点几毫米时,电子波 函数重叠,若加一小的直流电位差,出现 隧道电流 i ,电流对针尖 表面距离 d 十分敏感, d 增加0.1 nm , i 减小一个数量级.保持 i 不变,针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况.,横向分辨率达到 0.1 nm, 纵向分辨率达到 0.001 nm 可以分辨出表面单个原子和原子台阶,原子结构,超晶格结构,表面缺陷细节,观测活体 DNA 基因,病毒.,三 一维谐振子,1. 线性谐振子定态薛定谔方程,2. 波函数 在 的渐进行为,很大时，,2,取,3. 满足束缚态边界条件的
12、级数解,代入方程， 得到 u() 所满足的厄米微分方程：,通解可写成,u() 必须中断为有限项多项式, 必要条件 =2n+1(奇数) , n=0,1,2,-,- 厄米多项式,4. 能量本征值的零点能,零点能(基态能量)为:,5.能量本征函数和宇称,线性谐振子定态波函数为,4.能量本征值的零点能,图 线性谐振子的位置概率密度分布,图 线性谐振子的波函数,讨论,1.由图可见,2.量子力学n较小时, 位置的概率密度分布与经典完全不同. 随着 n, 如n=11时量子和经典在平均上比较符合.,3. 一维谐振子能级和概率密度分布,可以看出,U=U(x)以外概率密度不为0,隧道效应,相对能级间隔,当,能量可
13、以连续变化（经典）,粒子的量子态,（空域描述）,（频域描述）,力学量的平均值,24-5 力学量的平均值与算符,一 量子力学中力学量为什么要用算符代替？,（位置确定，动量则不确定）,由于很多力学量（例如：能量、角动量）中既有坐标又有动量，所以必须统一在同一表象中计算其平均值。,但是,二 力学量与算符对应,动能,源于波粒二象性，不确定关系,例,(量子力学基本原理之三）,利用傅里叶变换,在坐标表象中,动量算符,把力学量用其对应的算符来代替就可以在同一表象中计算其平均值,也可用简便的方法引入算符；由一维定态薛定谔方程,哈密顿（ 能量）算符,在经典力学中, 哈密顿函数(能量)在非相对论近似下为,对于算符 ，如果,为常数,例. 力学量 经典定义 算符 位置 动量 角动量 动能 总能量,就将经典力学的能量和量子力学中的能量算符关联起来.,三维,经典物理学中,一个粒子的状态用 描写,其他物理量,在量子力学中 对应一个算符,只要建立如下关系,
