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1、.,全等三角形复习提纲,.,1.全等三角形的性质:,对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。,2.全等三角形的判定:,知识点,一般三角形全等的判定：,4角平分线的判定：,SSS、SAS、ASA、AAS、HL,3.角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,点Q在AOB的平分线上 QDOA,QEOB, QDQE,到角两边距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE 点Q在AOB的平分线上,.,例1、对应边:_与_,_与_,_与_, 对应角:_与_,_与_,_与_., ABD CDB,ABC DCB ,全等三角形对应元素规律,公共边是对应边. 公共角是对应角.
2、 一对最长的边是对应边，一对最短的边是对应边. 一对最大的角是对应角，一对最小的角是对应角.,.,1如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DCAB,.,5,5。CAE=BAD，B=D，AC=AE，ABC与ADE全等吗？为什么？,证明： CAE=BAD(已知), CAE+BAE=BAD+BAE,即BAC=DAE,ABC ADE,AC=AE(已知), B=D(已知),(AAS),6.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交点O，AD=AE，B=C。 求证： AB=AC BD=CE,证明 ：C=B（已知） A=A（公共角） AD=AE（已知）,ACDABE（AAS） AB
3、=AC, AD=AE AB-AD=AC-AE(等量减等量，量相等）BD=CE,.,课堂练习,7.已知BDCD，ABDACD，DE、 DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F，求证：DEDF,全等三角形的对应边相等,AAS,垂直的定义,等角的补角相等,已知,证明：ABDACD（ ） EBDFCD（ ） 又DEAE，DFAF（已知） EF900（ ） EBDFCD BDCD DEBDFC（ ） DEDF（ ）,垂直的定义,8.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE， BE = DF，BEDF，求证：ABCD,证明：,.,9.已知，ABC和ECD都是等边三角形， 求证：BE=AD,10：如图，已知E
4、在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,理由：1=2 3=4 EB=EB EBCEBD (AAS) BC=BD 又 AB=AB 1=2 ABCABD (SAS) AC=AD,.,11.已知: 如图,AB = DC ,AD = BC .求证: A = C,A,B,C,D,12如图ABC刚架,AB = AC ,AD是连结点A与BC中点D的支架. 求证: ABD ACD AD BC, D是线段BC的中点 BD=CD 又 AB = AC AD = AD ABD ACD ( SSS ) 1 = 2 1 + 2 = 180 1= 180 = 90 AD BC,证明:,C,
5、证明:,.,13.如图，1=2，3=4 求证： ABDABC,14.如图，你能说明图中的理由吗？, ABD +3 = 180 ABC +4 =180 又 3= 4 AB D = ABC 又 1 = 2 AB = AB AB D ABC,证明:,证明:,.,15、OBAB,OCAC,OB=OC .AO平分BAC吗？为什么？,答： AO平分BAC,16. 如图,M是AB中点 ,1 = 2 ,MC=MD. 试说明ACMBDM,证明: M是AB的中点 (已知) MA=MB(中点定义) 1 = 2 (已知) MC=MD(已知) ACM BDM (SAS),.,17已知：AB=CD，AD=CB，O为AC任
6、一点，过O作直线分别交AB、CD的延长线于F、E，求证：E=F., ABCCDA BACDCA ABCD E=F., AB = CD AD = CB AC = CA,证明:,证明:,18.如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。, ABDE A=D AF=DC AF+FC=DC+FC AC=DF A=D AB=DE ABCDEF （SAS）,答ABCDEF., ABFDEC, ECFBFC,.,19 ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边的距离相等,BP是ABC的角平分线, PDAB，PEBC,PD=PE(角平分线上的点到角
7、两边距离相等).,同理可证：PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,20.已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M 点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC FGFM（角平分线上的点到角两边距离相等） 同理可证：FMFH FGFH（等量代换） 又 FGAE，FHAD 点F在DAE的平分线上 （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） .,G,M,H,.,21如图，AB=AD,CB=CD. 求证: AC 平分BAD,22
8、已知：ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是ABC和A1B1C1的高. 求证：AD=A1D1,.,24求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。,已知： AB=A1B1. ADBC， A1D1 B1C 1 AD=A1D1 B1A1C1 = BAC=900 求证： ABCA1B1C1,.,15,25已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N， 1=2，求证（1）ABE ACD（2）AM=AN,26已知：在ABC中，AD是BC边上的高， AD=BD DE=DC，延长BE交AC于F， 求证：BF是ABC中边上的高.,证明： 1=2 1+BAC=2+BA
9、C BAE=CAD 又 AD=AE AB=AC ABE ACD (SAS) B= C 又 AB= AC BAN= CAM ABNACM AM=AN,证明： AD是BC边上的高 BDA=ADC=900 又 AD=BD DE=DC BDE CD A (SAS) BED= C 又 BDA =90 BED+EBD=90 BED+C=90 BFC=90 BF是ABC中边上的高,.,27已知：AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F ,DB=DC，求证：EB=FC,28如图已知:ADBC，AD CB求证：ADCCBA,29如图，已知ABAC，ADAE，12，证:ABDACE,证明： AD平分BAC 又D
10、EAE，FDAF DEFD（角平分线上的点到角两边距离相等） 又 EBFC Rt DBE Rt DFC (HL) BE=FC,证明： AD BC DAC=ACB 又 ADBC ACAC DAC BCA (SAS),证明： 1=2 1+BAE=2+BAE BAD=CAE 又 AD=AE AB=AC ABD ACE (SAS),.,解： BECE，ADCE BEC= CDA= 90 EBC+BCE=90 又 BCA= 90 ACE+BCE=90 ACE=CBE 又 BEC= CDA AC=BC CBE ACB AD=CE BE=CD 又 CD=CE-DE BE=DA-DE=2.5-1.7=0.8,
11、证明：ABC ABC ABABABC=CBA BC=BC 又AD.AD是中线 BD= 12 BC BD= 12 BC BD=BD 又 ABAB ABC=CBA ABD RABD(SAS) AD=AD,.,33已知：CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形有哪些对？并证明,32已知：CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，OB=OC。求证：1=2，,证明：CDAB，BEAC BEC= CDA= 90 又 OBOC BOD= COE DBO ECO (AAS) OD=OE 又CDAB，BEAC 1=2，到角两边距离相等的点在这个角平分
12、线上,证明 CDAB，BEAC BEC= CDA= 90 又 OAOA 1= 2 DAO EAO (AAS) OD=OE 又 BEC= CDA= 90 BOD= COE DBO ECO (ASA),证明： DBO ECO B= C 又 OAOA 1= 2 BAO CAO (AAS) AB=AC 又 BEC= CDA= 90 A= A BAE CAD (AAS),.,34在ABC中， AD是ABC的角平分线和中线，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F， 求证： BECF 35 在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF 求证：AD是ABC的角平分线。,证明： A
13、D是ABC 中线 DB=DC 又 AD平分CAB，DEAB， DFAC FDDE (角平分线的性质) 又 DEAB， DFAC BD=DC DE=DF RtCDFRtEDB (HL) BE=CF（全等三角形对应边相等）,证明： AD是ABC 中线 DB=DC 又 DEAB， DFAC BE=CF BD=DC RtCDFRtEDB (HL) FDDE 又 DEAB， DFAC AD平分CAB，,.,36如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为两块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带那块去合适？为什么？,37如图，为了促进当地旅游发展，要修建一个度假
14、村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?这样的地点有几处？要求尺规作图画出,.,38如图：在ABC中，C=90AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在 AC上，BD=DF 求证：CF=EB,证明：AD平分CAB，DEAB，C90 CDDE (角平分线的性质) 在tFCD和RtDBE中 CD=DE DF=DB RtCDFRtEDB (HL) CF=DE（全等三角形对应边相等）,39.如图ABCD，ADBC，O为AC上的一点，过点的直线分别交AD、BC于、，你能说明吗？,证明： AB = DC AD = BC AC=AC ABC CDA ( SSS ) DAC = ACB AD BC 1 = 2,.,41.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分 CAB和DBA，CD过点E，则AB与 AC+BD相等吗？请说明理由。,证明两条线段的和与一条线段相等常用两种方法： 1（割）在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等 2、（补）把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等,40如图, C=D=90，E是CD的中点、EB平分DBA ，求证：AE是CAB 的角分线。提示：做EF AB,A,C,E,B,D,证明：做EF AB D=90, EB平分DBA
