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1、1,热烈欢迎各位朋友使用该课件！,广州大学数学与信息科学学院,2,工科高等数学,广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东,3,第五节 利用柱面坐标和球面坐标,计算三重积分,一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结,4,一、利用柱面坐标计算三重积分,规定：,简单地说，柱面坐标就是,xoy 面上的极坐标 + z 坐标,5,柱面坐标与直角坐标的 关系为,如图，三坐标面分别为,圆柱面；,半平面；,平 面,6,如图，柱面坐标系中的 体积元素为,于是，,再根据 中 z，r， 的关系，化为三次积分。,一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 积分。,7,例1 利用柱面坐标计算三重积分,其中
2、,解,(1) 画 图,(2) 确定 z，r， 的上下限,将 向 xoy 面投影，得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,8,即,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,于是，,9,10,解,求交线：,将 向 xoy 面投影，得,或,11,即,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,或,12,例3 计算三重积分,其中 是由曲,解,将 向 xoy 面投影，得,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,13,即,或,过 (r, )D 做平行于 z 轴 的直线，得,14,即,15,二、利用球面坐标计算三重积分,规定：,16,如图，三坐标面分别为,圆锥面；,球
3、面；,半平面,球面坐标与直角坐标的关系为,17,球面坐标系中的体积元素为,如图，,再根据再 中 r， ， 的关系，化为三次积分。,一般，先对 r 积分，再对 ，最后对 积分。,18,例4 用球面坐标计算,其中,解,画 图。,确定 r， ， 的上下限。,(1) 将 向 xoy 面投影，得,射线，得,19,即,20,21,例5 计算,其中 由曲面,和,围成。,将 向 xoy 面投影，得,在半平面上，任取一,过原点作射线，得,解,轴作半平面，得,22,即,23,解,由三重积分的性质，有,24,25,柱面坐标的体积元素,球面坐标的体积元素,柱面坐标,球面坐标,三、小结,26,广州大学 袁文俊、邓小成、尚亚东,Thank You !,
