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1、绝对值知识点及练习绝对值知识点及练习 1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记 作a,读作“绝对值 a” 。 （2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 实数 a 的绝对值是：|a| a 为正数时，|a|=a(不变) a 为 0 时， |a|=0 a 为负数时，|a|= -a(为 a 的绝对值) 任何数的绝对值都大于或等于 0，因为距离没有负的。 2、实数的绝对值具有以下性质： (1)|a|大于等于 0(实数的绝对值是非负实数); (2)|-a|=|a|(互为相反数的两实数绝对值相等); (3)
2、-|a|小于等于 a 小于等于|a|; (4)|a|b 可以推出 ab，ab 可以推出|a|b; (5)|ab|=|a|b|; (6)|a|/|b|=|a/b|(b0); (7)|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当 a、b 同号时，等式成立; (8)|a-b|大于等于|a|-|b|，当且仅当 a、b 同号时，等式成立; (9)a 属于 R 时，|a|的平方等于|a|的平方。 特别提醒：（特别提醒：（1）绝对值具有非负性，即）绝对值具有非负性，即|a|0；|0； （2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数； （2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数； （3）0 是绝对值最小的有理
3、数。 （3）0 是绝对值最小的有理数。 3、利用绝对值比较大小 (1)利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比较的具体步骤： 先求两个负数的绝对值； 比较绝对值的大小； 根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断 (2)几个有 理数的大小比 较 同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数， 绝对值大的反而小 多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝 对值或借助于数轴来进一步比较 4、利用绝对值解决实际问题 绝对值的产生来源于实际问题的需要， 反过来又可以运用它解决一些实际问题， 主要有以下
4、 两类： (1)判断物体或产品质量的好坏 可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好 方法： 求每个数的绝对值； 比较所求绝对值的大小； 根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断 (2)利用绝对值求距离 路程问题中，当出现用“”、“”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是 求绝对值的和 方法： 求每个数的绝对值； 求所有数的绝对值的和； 写出答案 5、去绝对值符号的几种常用方法： （1）利用定义法去掉绝对值符号利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x|= (0) (0) x x x x ，有|x|c (0) 0(0) (0) xcxc
5、 c xc xR c 或 （2）利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化|x|c(c0)来解，如|ax b |c(c0)可为ax b c或 axb c；|ax b |c可化为cax+bc，再由此求出原不等式的解集。 对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a|x|b ax b或bxa”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。 （3）利用平方法去掉绝对值符号利用平方法去掉绝对值符号 对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x| 2 = 2 x 可在两边脱去绝对值符号来解，这 样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简
6、捷， 解题时还要注意不等式两边 变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有 不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式 时更必须注意这一点。 (4)利用零点分段法去掉绝对值符号利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法， 是指 ： 若数 1 x ， 2 x ， n x 分别使含有|x 1 x |， |x 2 x |， |x n x |的代数式中相应绝对值为零，称 1 x ， 2 x ， n x 为相应绝对值的零点，零点 1 x ， 2 x ， n x 将数轴分为m+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式
7、在各段上 的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨 论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含 绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它 可以把求解条理化、思路直观化。 (5)利用数形结合去掉绝对值符号利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合， 利用绝对值的几何意义画出数轴， 将绝对值转化为数 轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用 于 |xaxbm 或 |xaxbm (m为 正 常 数 )类 型 不 等 式 。 对
8、 |axbcxdm (或0 时，a=a (性质 1，正数的绝对值是它本身) ； 当 a=0 时a=0 (性质 2，0 的绝对值是 0) ； 当 a0 时，a+b=a +b(性质 1，正数的绝对值是它本身) ； 当 a+b=0 时，a+b=0 (性质 2，0 的绝对值是 0) ； 当 a+bb 时， a-b=a-b,b-a=a-b. 请记住口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据 3 的口诀来化简，更快捷有效。如a-b的一类问题，只要判断出 a 在 b 的右边，便 可得到a-b=a-b,b-a=a-b。 5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的
9、运算 万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与 0 比较，大于 0 直接去绝 对值号，小于 0 的整体前面加负号。 练习练习 一、选择一、选择 1、绝对值为 4 的有理数是（ ）A. 4 B. 4 C. -4 D. 2 2、两个数的绝对值相等，那么（ ）A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等； C.这两个数一定是互为相反数或相等；D.这两个数没有一定的关系 3、绝对值小于 4 的整数有（ ）A.3 个 B.5 个 C.7 个 D.8 个 4、绝对值与相反数都是它的本身（ ）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.不存在 5、若 m 为有理数，且 那么 m 是（ ）A
10、.非整数 B.非负数 C.负数 D.不为零的数 6、下列说法中，错误的是（ ） A、一个数的绝对值一定是正数 B、互为相反数的两个数的绝对值相等 C、绝对值最小的数是 0 D、绝对值等于它本身的数是非负数 7、下列结论中，正确的有（ ） 符号相反且绝对值相等的数互为相反数 ； 一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离 原点越远；两个负数，绝对值大的它本身反而小；正数大于一切负数；在数轴上，右 边的数总大于左边的数. A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 8、一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（ ） （A）正数 （B）正数或零 （C）零 （D）有理数 9、如果一个数的绝对值是 5.2
11、，那么这个数是（ ） （A）5.2 （B）5.2 （C）5.2 或5.2 （D）以上都不对 10、任何有理数的绝对值都是（ ） （A）正数 （B）负数 （C）有理数 （D）正数或零 11、在（8） ，|1|，|0|，0 .0001 这四个有理数中，负数共有（ ） （A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 12、在数轴上和表示3 的点的距离等于 5 的点所表示的数是（ ） （A）8 （B）2 （C）8 和 2 （D）1 13、9 与1 3 的绝对值的和是（ ） （A）22 （B）4 （C）4 （D）22 14、数|3 |的相反数是（ ） （A）3 （B） （C）3 （D）3 15、
12、设 a 是最小的正整数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则 a + b + c 等 于 （ ）A 1 B 0 C 1 D 2 二、填空 （1）正数的绝对值是_，负 数的绝对值是_，零的绝对值是_，绝对值等于 1 的有理数是_ （2）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的_ （3）49 是_ _的相反数，它是_的绝对值 （4）|5|的相反数是_ （5）如果一个数的绝对值等于 那么这个数是_ （6）绝 对值小于 3.14 的所有整数是_ （7）-3 的绝对值是_，绝对值是 3 的数是_. （8）一个数 a 在数轴上的对应点在原点的左侧，且 ，则a=_. （9）绝对值最小的
13、数是_；最大的负整数是_ （10）绝对值小于 3 的所有自然数是_ （11）一个有理数的相反数小于原数，这个数是_ (12)已知xy=2，且 y =4，则 x = _。 (13)已知x=2 ，y=3，则 x +y = _。 (14)已知 x +1 与 y 2互为相反数，则x +y= _。 (15)式子x +1 的最小值是 ，这时，x 值为_。 三、拓展提高： 1如果 a ， b 互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值为 2，求式子 a+b+ mcd 的值。 2、某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从 A 地出发，（去向东的方向正方向），到 晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的的里程记录如下（单位：） +10 ， 5， 15 ，+ 30 ，20 ，16 ，+ 14 （1） 若该车每百公里耗油 3 L ，则这车今天共耗油 多少升？ （2） 据记录的情况，你能否知道该车送完最后一个乘客是，他在 A 地的什么方向？距 A 地多远？
