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1、学 海 无 涯 第一单元图形的变换 （一）对称 1、轴对称: 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图 形， 这条直线叫做对称轴。 2、学过的轴对称平面图形：长方形、正方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形 3、圆有无数条对称轴。 （二）旋转 1、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋 转，定点 O 叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点 成为对应点。 2、生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车 3、长方形绕中点旋转 180 度与原来重合，正方形绕中点旋转 90 度与原来重合。等边三角形 绕中点旋
2、转 120 度与原来重合。 4、旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置 移动；其中对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后图形的大小和形状没有改变；两组对应 点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点。 （三）对称和旋转的画法 1、对称要注意：对应点到对称轴的距离相等，对应点之间的连线垂直于对称轴。 2、旋转 要注意：顺时针、逆时针、度数。 第二单元 因数和倍数 1、 整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。 如：12 和 6， 12 是 6 的倍数，6 是 12
3、的因数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。一个数的 倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 2、自然数按能不能被 2 整除来分：奇数 偶数奇数：不能被 2 整除的数偶数：能被 2 整除 的数。 最小的奇数是 1，最小的偶数是 0. 个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 的倍数。 个位上是 0 或 5 的数，是 5 的倍数。 一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 能同时被 2、3、5 整除的最大的两位数是 90，最小的三位数是 120。 3、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1. 质数：有且只有两个因数，1
4、和它本身合数： 至少有三个因数，1、它本身、别的因数 1： 只有 1 个因数。“1”既不是质数，也不是合数。 最小的质数是 2，最小的合数是 4，没有最大的质数和合数。 20 以内的质数：有 8 个（2、3、5、7、11、13、17、19），它们的和是 77。 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、 43、47、53、 59、61、67、71、73、79、83、89、97 4、分解质因数 用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式） 第三单元 长方体和正方体 【概念】 1、由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图
5、形叫做长方体。在一 个长方体中，相对面完全相同，相对的棱长度相等。 2、两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分,1,学 海 无 涯 别叫做长方体的长、宽、高。 3、由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。正方体有 12 条 棱，它们的长度都相等，所有的面都完全相同。 4、长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以 说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 5、长方体有 6 个面，8 个顶点，12 条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。一 个长方体最多有 6 个面是长方形，最少
6、有 4 个面是长方形，最多有 2 个面是正方形。正方体 有 6 个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等，有 12 条棱，每条的棱的长度都相等。 在长方体和正方体中，相对的棱互相平行，相交的棱互相垂直。 长方体的棱长总和=（长+宽+高）4 L=（abh）4 长=棱长总和4宽 高 a=L4bh 宽=棱长总和4长 高 b=L4ah 高=棱长总和4长 宽 h=L4ab 正方体的棱长总和=棱长12 L=a12 正方体的棱长=棱长总和12 a=L12 6、长方体或正方体 6 个面和总面积叫做它的表面积。 长方体的表面积=（长宽长高宽高）2 S=2（abahbh） 无底（或无盖）长方体表面积= 长宽（长
7、高宽高）2 S=2（abahbh）ab S=2（ahbh）ab 无底又无盖长方体表面积=（长高宽高）2 S=2（ahbh） 正方体的表面积=棱长棱长6 S=aa6 6、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 棱长是 1 厘米的正方体，体积是 1 立方厘米。 棱长是 1 分米的正方体，体积是 1 立方分米。 棱长是 1 米的正方体，体积是 1 立方米。 长方体的体积=长宽高 V=abh 长=体积宽高 a=Vbh 宽=体积长高 b=Vah 高=体积长宽 h= Vab 正方体的体积=棱长棱长棱长,2,学 海 无 涯 V=aaa V=a3a3 读作“a 的立方”表示 3 个 a 相乘，（即 aaa） 长方
8、体（或正方体）的体积=底面积高 V=sh 长方体的底面积=长宽 正方体的底面积=棱长棱长 7、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。实心的物体没有容积。 计量容积，一般就用体积单位。 常用的容积单位有升和毫升也可以写成L 和 ml。 1 升=1 立方分米1 毫升=1 立方厘米1 升=1000 毫升 容积和体积的异同： 相同点：容积和体积都是物体的体积，计算方法相同。 不同点：体积从外面量物体的长、宽、高，容积从里面量物体的长、宽、高。 8、长方体或正方体的长宽高扩大a 倍，它的表面积扩大 a2 倍，体积扩大 a3 倍。,【体积单位换算】 高级单位 低级单位,低级单位 高级单
9、位,进率 ： 1 立方米1000 立方分米1000000 立方厘米 1 立方分米1000 立方厘米1 升1000 毫升 1 立方厘米1 毫升 1 平方米=100 平方分米=10000 平方厘米 1 平方分米=100 平方 1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米 1 公顷=10000 平方米 相邻两个长度单位间的进率是 10，相邻两个面积单位间的进率是 100，相邻两个体积单位间 的进率是 1000。 第四单元 分数的意义和性质 （一）意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样 的一份或几份都可以用分数来表示。 （二）单位“1”：一个整体可以用自然数
10、1 来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什 么平均分什么就是单位“1”。） （三）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如 4/5 的分数单位是 1/5 。 （四）分数与除法AB=A/B（B0） 45=4/5 （五）真分数和假分数 1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。 2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数1 3、带分数：略 （六）假分数与整数、带分数的互化 1、假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子， 如： 10/5=105=2 21/5=215=4(1/5) 2、整数化为假分数，用整数乘以分母得
11、分子 3、带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变。 4、1 等于任何分子和分母相同的分数。,3,4,学 海 无 涯 （七）分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。 （八）求最大公因数和最小公倍数用 12 和 16 来举例 1、 求法一：（列举求同法） 最大公因数的求法： 12 的因数有：1、12、2、6、3、4 16 的因数有：1、16、2、8、4 最大公因数是 4 最小公倍数的求法： 12 的倍数有：12、24、36、48、 16 的倍数有：16、32、48、 最小公倍数是 48 2、求法 二：（分解质因数法） 1
12、2=223 16=2222 最大公因数是：22=4（相同乘） 最小公倍数是：22 322= 48 （相同乘 不同乘） 如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公 倍数。 如果两数互质时，那么 1 就是它们的最大公因数，它们的积就是它们的最小公倍数。 所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。 所有的公倍数都是最小公倍数的倍数，最小公倍数是它们的因数。 （九）互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5 和 7 两个合数的互质数：8 和 9 一质一合的互质数：7 和 8 两数互质的特殊情况： 1、1 和任何自然数互质；
13、2、相邻两个自然数互质； 3、两个质数一定互质； 4、2 和所有奇数互质； 5、质数与比它小的合数互质； （十）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （十一）通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。 （十二）分数和小数的互化 1、小数化为分数数小数位数。一位小数，分母是 10；两位小 数，分母是 10 2、分数化为小数： 方法一：把分数化为分母是 10、100、1000 方法二：用分子分母 3、带分数化为小数： 先把整数后的分数化为小数，再加上整数 4、最简分数的分母只含有质因数 2 和 5,这个分数一定能化成有限小数。 5、分数化简包括两步
14、：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。 第五单元 分数的加法和减法 （一）同分母分数相加减。 方法：分母不变，分子相加减，结果再约分。 （二）异分母分数相加减。 方法：分母不同，先通分，把分母变相同，再加减，结果要约分。 （三）分数加减混合运算 和整数一样 （四）带分数加减法: 带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合 并起来。 第六单元 统计 统计图：我们学过条形统计图、折线统计图。 优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。,5,学 海 无 涯 折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。 打电话：规律人人不闲着，每人都在传。 第七单元 数学广角 方法：把所有物品尽可能平均地分成 3 份，用的次数最少。 数目与测试的次数的关系： 23 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 1 次 49 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 2 次 1027 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 3 次 2881 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 4 次 82243 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 5 次 244729 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 6 次,
