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1、1,MPA联考之数学部分,数学是科学的大门和钥匙., 培根,(Advanced Mathematics),主讲教师：吴洪武 Tel : 13660055700 E-mail : ,2,第一章 函数 极限 连续性,第一节 函数,(function， limit， Continuous ),第一章 函数与极限,3,初等数学,就其总体来说是,进入变量的数学 微积分.,“常量的数学”,从现在开始,4,1.常量(constant quantity)与变量(variable),函数(function),常量;,变量.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,常量与变量的表示方法:,在高
2、等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量,用字母 x, y, t 等表示变量.,5,定义,设数集,则称映射,为定义在D上的函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域(domain),按对应法则f ,总有唯一,确定的值y与之对应,这个值称为函数f 在x处的,函数值,记作,函数关系,函数值,全体组成的集合称为,range,记作,即,函数f 的值域,2. 函数概念,6,对,元素 x 的像y是唯一的;,而对,元素 y 的原像不一定是唯一的;,映射 f 的值域,是Y 的一个子集,不一定,(2),(1),集合X, 即定义域,集合Y, 即值域的范围:,对应法则f ,使对,有唯一确定的,与之对应.,三个要
3、素:,构成一个函数必须具备以下,7,设函数,值域,即Y 中任一元素y 都是X中某,元素的像,则称f 是,满射.,若,必有,则称f 是,单射.,若映射f,则称f 是,一 一 映射,(或双射).,3. 几类重要函数,又是单射,既是满射,8,含义的区别.,自变量x和因变量y之间的对应法则;,与自变量x对应的函数值;,定义在D上的函数,应理解为由它所确定的函数f.,(1),(2),函数的记号:,除常用的f 外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时.,9,(3),函数的,是两个不同的函数.,(因为定义域不同).,如,与对应法则f相同 .,定义域
4、,相等:,10,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即,简称函数表示法的,答案,表达式求解,练习,(4),而与用什么字母无关,的有效方法.,无关特性,11,利用函数表示与变量字母无关的特性.,代入原方程得,代入上式得,令,即,令,即,三式联立,解,练习,12,定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切,定义区间.,由问题的实际意义所确定.,(2),函数的定义域常用区间来表示,又可称为:,实际问题(几何或物理问题);,在纯数学的研究中 (函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然定义域.,表示的).,13,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,定义域是,14,常用
5、的函数关系表示法,公式法(解析法);,主要有三种形式,表格法.,各种表示法,都有其优点和不足.,图形法;,公式法(解析法),图形法,表格法,一般以公式法为主,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值, 但它常常是不完全的.,也可用语言描述.,配合使用图形法和表格法.,是多种多样的.,15,函数的图形(图象),取自变量在横轴上,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指,变化,平面点集:,通常是一条或几条,曲线(包括直线).,中的集合,16,例,按国家规定,个人月收入x不超过880元不纳税,超过880元而小于1380元的部分按 5纳税,而,超过13
6、80元小于2000元的部分按 10纳税,则 个人月收入x与交纳所得税 y 的函数关系为,除了可用一个数学式子表示函数外,有些函数随着自变量取不同的值,分段函数.,我国部分工薪人员应纳多少税,这种函数称为,函数关系也不同,17,例,18,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,19,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,20,取整函数,如,例,当,阶梯曲线,定义域,值域,表示不超过x的最大整数,21,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域,有理数点,无理数点,22,练习,设,2,0,(1) 填空:,23,2. 用分段函数表示函数,分
7、段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数.,24,有界性 (bounded),设函数y=f(x)在区间I上有定义,则说 f(x) 在区间I上有上 界.,(下),使得对所有,若存在,常数A,都有,(B),3. 函数的几种特性,25,若存在常数,使得对所有,则称 f(x) 在I上有界.,在 I上无界;,都有,若这样的M 不存在,则称 f(x),即为对于任何,总存在,使,则称 f(x),在 I上无界.,有界,无界,26,在定义域上有界的函数叫做,例,是有界函数;,是无界函数,但它在区间 上,在区间 上,一定要把区间明确出来!,不是有界函数, 就是无界函数.,显然,(bounded
8、 function),有界函数.,有界等同于既有上界又有下界.,有下界,有界.,27,练习,A. 有上界无下界,B. 有下界无上界,C. 有界, 且,D. 有界且,解,C,解题提示,将函数取绝对值, 然后用不等式,放缩法.,28,六个常见的有界函数,29,单调性(monotonicity),是单调增加;,如果对,恒有,monotone increasing,30,应指明单调区间 ,否则会产生错误.,是单调减少.,如果对,恒有,monotone decreasing,31,练习,(1) 选择题:,在区间 上由( ),是单调增加的.,给出的函数,32,证,于是,33,奇偶性,偶函数的图形,称 f(
9、x)为,偶函数 (even function);,34,奇函数的图形,称 f(x)为,奇函数 (odd function).,35,(1) 不要把奇偶函数当作两个完全相反的,(2) 奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈,奇偶函数的运算性质:,(1) 奇(偶)函数的代数和仍为奇(偶)函数;,(2) 偶数个奇(偶)函数之积为偶函数;,奇数个奇函数的积为奇函数.,(3) 一奇一偶的乘积为奇函数.,概念.,奇、偶.,36,练习,判别给定函数的奇偶性,解题提示,奇函数的,有效方法.,判别下列函数的奇偶性:,奇函数,偶函数,有时也用其运算性质.,主要是根据,奇偶性的定义,37,周期性(periodicity
10、),的周期.,周期函数(period function).,如果存在一个,正数,且总有,称为f (x),通常称周期函数的周期是指,最小正周期.,周期为 的周期函数,设函数 f (x)的定义域为D,则称f (x)是,38,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(当x是有理函数时),(当x是无理函数时),这是一个周期函数,任何正有理数r都是它,的周期.,因为不存在最小的正有理数,所以没有,最小正周期.,39,4. 反函数与复合函数,设函数f :,单射,则它存在逆映射,称此映射,为函数f 的,反函数.,习惯上,的反函数记成,(1),定义,反函数(inverse function),如,单射,反函数
11、,直接函数,通常将,写作,一般地,40,直接函数与反函数的图形,直线,对称.,关于,41,如,其反函数为,指数函数,定义域为,值域为,写成,并不是所有函数都存在反函数.,如,函数,定义域为,值域为,但对,都有两个,和,与之对应,x不是y 的函数,不存在反函数.,并称为对数函数.,42,(减),而且反函数也是单调递增(减).,在什么条件下,?,一个函数存在反函数,反函数存在定理,若直接函数,在D上单调递增,求反函数的步骤,(1),(2),即得所求函数的反函数,则函数f :,单射,则它必存在反函数,43,练习,选择题,(1) 函数 的反函数是( ).,D,(2) 函数,(A) 完全不同的; (B)
12、 部分相同,部分不同;,(C) 完全相同的; (D) 可能相同,也可能不同.,C,与它的反函数,在同一坐标系中的图象是( ).,44,(2),复合函数 (compound function )重点,定义,设函数,的定义域是,函数,有定义,且,则由下式,确定的函数,称为由函数,构成的,复合函数.,记作,即,它的定义域为,45,(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数;,(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,因为 的值域,不能构成复合函数.,不能包含于,的定义域,之中.,(3) 反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合.,46,例,设有函数,和函数,则函数g
13、和f 构成的复合函数,有,47,复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数),由函数的最外层运算一层层剥到最,里边,切不可漏层.,如,都是中间变量.,复合函数的定义域是,即,而不是,的定义域,剥皮法,48,例,解,故定义域为,的值要落在外边函数的定义域内.,注意保证套在里边的函数,49,5. 函数的运算,设函数,的定义域分别为,则可定义这两个函数的下列运算:,和(差),积,商,且,线性组合,为实数,50,1) 幂函数(power function),定义域与 的取值有关.,6. 初等函数(elementary function),(basic elementary function),(1) 基
14、本初等函数,51,2) 指数函数(exponential function),定义域为,值域为,52,3) 对数函数(logarithm function),定义域为,值域为,53,4) 三角函数(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,54,余弦函数,定义域为,值域为,55,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,56,5) 反三角函数(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,57,定义域,值域,主值,反余弦函数,58,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指
15、数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,59,(2) 初等函数(elementary function),初等函数.,如,都是初等函数.,不是初等函数.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构,成并可用一个式子表示的函数, 称为,60,一般分段函数不叫初等函数,想一想,可看作分段函数,是否又可看作是初等函数?,答:,故又可看作是初等函数.,是!,由于,不是用一个式子表达出来的.,因为它,61,思考题,及其定义域.,解题思路,此题是复合函数问题,可设,从题目条件分析u和x的关系.,解,令,则,于是,62,数列的概念,收敛数列的性质,数列极限的概念,概念的引入,第二节 极限,第一章 函数，极限与连续性,63,一、概念的引入,极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.,极限的思想源远流长.,庄子(约公元前355275年)在天下篇,“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”.,意思是:,一尺长的棍子,第一天取其一半,第二,天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一,半,这样永远也取不完.,中写道:,64,刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:,意思是:,设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边,形开始,每
